sommerfugleffekten – Store norske leksikon (original) (raw)

Sommerfugleffekten beskriver hvordan visse systemer i vitenskapen og matematikken er sensitivt avhengige av endringer i omstendighetene. Den populære formuleringen er inspirert av et foredrag gitt av Edvard Lorenz i 1972: Kan en sommerfugls vingeslag i Brasil kan forårsake en tornado i Texas?

Faktaboks

Etymologi

engelsk the butterfly effect

I systemer som oppfyller sommerfugleffekten er det svært vanskelig å forutsi hvordan systemet vil utvikle seg over tid. Uansett hvor presist man måler startbetingelsene, vil systemet kunne oppføre seg på helt andre måter en man først trodde; systemet er altså uforutsigbart.

Værberegninger

Lorenz, ved hjelp av hans to assistenter Ellen Fetter og Margaret Hamilton, var en av de første som oppdaget hvordan enkle deterministiske systemer kunne inneha fullstendig uforutsigbare elementer. Dette oppdaget han i 1961 da han gjorde enkle simuleringer av været på en datamaskin ved bruk av et system med 12 ligninger som beskrev hvordan vindretninger, trykk og temperatur var avhengige av hverandre.

Hvert minutt skrev maskinen ut en liste med tall, tolket som at en dag hadde gått på den simulerte jordkloden. En dag ville Lorenz gjenta en beregning fra midten, men oppdaget at beregningen ga et helt nytt resultat sammenlignet med den første beregningen. I et deterministisk system er dette en umulighet.

Etter å ha sjekket for alle mulige feil med maskinen oppdaget Lorenz at maskinen gjorde beregninger med seks desimaler, mens resultatene bare ble vist med tre. Dermed ble resultatene ulike, men det var fortsatt svært overraskende at en forskjell på rundt en titusendel kunne gi så drastisk forskjellige utfall på været han simulerte.

Selv om Lorenzs system var en forenkling av virkeligheten, har man siden vist at også været oppfører seg på denne måten. Dette gjør at det er svært komplisert å forutsi hvordan været kommer til å bli langt fremover i tid. Oppdagelsen av kaos i værsimuleringer har gjort at man i noen tilfeller har gått over til å gi ensembleprognoser, for eksempel når man skal prøve å forutsi hvor en orkan kommer til å inntreffe.

Kaotiske systemer

Oppførselen til værsystemet beskrevet over, altså at veldig like startvilkår kan ha veldig forskjellige utfall, er en av de essensielle egenskapene ved kaotiske systemer. Den matematiske disiplinen som studerer slike systemer heter kaosteori.

Kanskje den første til å studere et slikt system var James Clark Maxwell, som også formulerte en prototypisk versjon av sommerfugleffekten i 1873:

"Når tingenes tilstand er slik at en uendelig liten variasjon av den nåværende tilstanden kun vil endre tilstanden på et fremtidig tidspunkt med en uendelig liten mengde, sies tilstanden til systemet, enten det er i hvile eller i bevegelse, å være stabil; men når en uendelig liten variasjon i den nåværende tilstanden kan føre til en endelig forskjell i systemets tilstand, i løpet av begrenset tid, sies tilstanden til systemet å være ustabil.

Det er åpenbart at eksistensen av ustabile forhold umuliggjør forutsigelse av fremtidige hendelser, hvis vår kunnskap om den nåværende tilstanden bare er omtrentlig, og ikke nøyaktig."

Noen år senere, rundt slutten av 1880-tallet, studerte Henri Poincaré det kjente trelegemeproblemet. Problemet går ut på å beskrive hvordan et system med tre planeter interagerer. Poincaré oppdaget at det kunne være umulig å forutsi hvordan et slikt system kom til å oppføre seg, og at det kunne ha kaotiske tendenser.

Andre eksempler på systemer der man har oppdaget kaotiske fenomener er:

• turbulens
• dyrepopulasjoner
• dannelsen av snøfnugg
• Newtons metode i matematikken
• faseoverganger i fysikken
• hjertefibrillasjoner
• en øyebevegelse hos schizofrene
• sykdomsutbrudd
• informasjonsflyt i informasjonsteori
• Jupiters storm

Attraktorer

Et vitenskapelig system studeres matematisk ved hjelp av differensialligninger. Jo mer komplisert systemet er, jo mer komplisert og jo flere variabler har disse ligningene. Et enkel system, slik som en svingende pendel (uten friksjon), har en enkel differensialligning:

\[ \frac{d^2 v}{d t^2} = -\frac{g}{l}\sin v \]

der \(g\) er gravitasjonsstyrken, \(l\) er lengden på pendelen og \(v\) er vinkelen. At sinusfunksjonen dukker opp forteller oss at systemet er periodisk. Ved å tegne tilstanden til systemet over tid vil vi få en sirkel, ettersom systemet er periodisk avhengig av kun to variabler — tid og vinkel.

Kaotiske attraktorer

Man kan også gjøre tilsvarende grafiske fremstillinger av kaotiske systemer. Det første, og mest kjente eksempelet er Lorenzs modell for atmosfærekonveksjon. Konveksjon beskriver hvordan varm luft stiger og kald luft synker, noe som for eksempel kan skape turbulens for et fly dersom det flyr gjennom et slikt system.

Lorenz studerte en forenklet versjon av atmosfærekonveksjon med tre ligninger:

1. \(\frac{dx}{dt} = \sigma(y-x)\)
2. \(\frac{dy}{dt} = x(\rho-z)-y\)
3. \(\frac{dz}{dt} = xy-\beta z\)

Her er \(\sigma\), \(\rho\) og \(\beta\) konstanter som beskriver hvordan systemets varme og konveksjonsegenskaper er. I den spesifikke modellen Lorenz brukte var \(\sigma = 10\), \(\rho = 28\) og \(\beta = \frac{8}{3}\). I systemet representerer variabelen \(x\) hvor intens konveksjonen er, \(y\) temperaturforskjellen i en konveksjonscelle, og \(z\) hvor mye temperaturen påvirker konveksjonen.

Dersom man tegner punktet \((x, y, z)\) i et koordinatsystem vil man kunne se hvordan systemet utvikler seg over tid – figuren kalles ofte for sommerfuglgrafen grunnet sitt utseende_,_ selv om dette er en tilfeldig likhet til sommerfugleffekten.

Lorenzsystemet er et kaotisk system, så det har ingen periodiske sykler, slik som pendelen hadde. Faktisk vil systemet aldri befinne seg i samme tilstand to ganger – været er altså aldri likt seg selv noen sinne igjen.

Lorenzsystemet er et eksempel på en såkalt kaotisk attraktor. Et viktig poeng med attraktoren er at systemet oppfører seg stabilt på stor skala, selv om det er kaotisk på liten skala. Dette betyr at selv om man ikke kan forutsi hvordan systemet kommer til å utvikle seg, kan man mer sikkerhet vite at det kommer til å utvikle seg langs en bane på den kaotiske attraktoren.

At kaotiske systemer ofte er stabile på store skalaer gjør at man kan anvende statistiske metoder for å forstå utviklingen til systemet over lang tid. Dette brukes for eksempel i klimaforskning, der man kan vise at global oppvarming er et faktum, selv om været i seg selv er et kaotisk og uforutsigbart system.

Les mer i Store norske leksikon

Kommentarer