擬Riemann・Lorentz多様体とClifford代数とスピノル (original) (raw)

動機と背景と準備

本記事は，Clifford代数とスピノルの新しい用法により，重力場中のゲージ場とDirac場の簡潔な記述を目指したものである．この用法によりゲージ場やDirac場の重力場との結合は内山龍雄の一般ゲージ理論が教えるものとは異なる解釈が得られる．最終的な目標は重力場の自然な記述とその量子化にある．以下ではその新しい用法に関する議論の背景を簡潔に述べ，準備を行う．

Clifford代数

物理学において速度，運動量，角運動量，電流密度などは，空間的な有効線分として幾何学的描像をもつ幾何ベクトルで表され，ベクトル和とスカラー倍の線型空間がもつ演算以外にスカラーを終域とするドット積とベクトルを終域とするクロス積をもつ．ドット積は計量の正定値対称双線型形式として定義され，基底の取り方に対しwell-definedであるが，クロス積は定義が基底に依存し，これは例えば右手系・左手系間の基底の取り換えに対し顕著に表れる．この問題はクロス積の代わりにウェッジ積を選ぶことで解決し，角運動量などは2-ベクトルとよばれる量になる．物理学における幾何ベクトルは実線型空間にドット積とウェッジ積の構造を入れたものといえる．ドット積とウェッジ積は幾何積
\begin{align*} ab&=a\cdot b+a\wedge b \end{align*}
によって統一され，実線型空間にドット積とウェッジ積の代わりに幾何積を入れたものを幾何代数という．ドット積とウェッジ積はそれぞれ可換と反可換であるため
\begin{align*} a\cdot b&=\frac{ab+ba}{2}\\ a\wedge b&=\frac{ab-ba}{2} \end{align*}
と幾何積によって表せる．幾何積は結合的かつ双線型的であるとする．正定値対称双線型形式の代わりに負定値対称双線型形式を用いたものも幾何代数ということがある．
相対論では，時間を空間とは異符号の計量の次元とし，計量はMinkowski計量という非退化不定値対称双線型形式となり，ドット積の代わりにMinkowski内積になる．幾何代数と同様の処方箋によって実線型空間にMinkowski内積とウェッジ積を統一する積を入れた代数系を時空代数という．さらにより一般に，幾何代数と同様の処方箋によって標数が2でない係数体F上の線型空間\mathrm{V}に対称双線型形式Bとウェッジ積を統一するClifford積を入れた代数系をF上のClifford代数\mathrm{Cl}(\mathrm{V},\ B)という．形式的にはVのテンソル代数をv\otimes w+w\otimes v-2B(v,\ w)(v，wはVの元)の形の元が生成する両側イデアルで割った商代数として定義され，Clifford積はテンソル代数のテンソル積からこの商によって継承される積として定義される．Clifford代数では普通，実数か複素数の係数体上の有限次元線型空間，非退化対称双線型形式を考える．
非退化実対称双線型形式に対する二次形式は，Sylvesterの慣性法則により基底に依存しない正の慣性指数と負の慣性指数をもっており，これらの組が(p,\ q)である実数上のClifford代数を\mathrm{Cl}_{p,\ q}(\mathbb{R})とかく．幾何代数は正定値なら\mathrm{Cl}_{p,\ 0}(\mathbb{R})で負定値なら\mathrm{Cl}_{0,\ q}(\mathbb{R})，時空代数は東海岸規約なら\mathrm{Cl}_{p,\ 1}(\mathbb{R})で西海岸規約なら\mathrm{Cl}_{1,\ q}(\mathbb{R})である．ここでは議論が符号の規約の流儀に依存しないよう
\begin{align*} \sigma=\begin{cases} +1&(正定値，東海岸規約)\\ -1&(負定値，西海岸規約) \end{cases} \end{align*}
\begin{align*} \mathrm{Cl}_{d}=\begin{cases} \mathrm{Cl}_{d,\ 0}(\mathbb{R})&(\sigma=+1)\\ \mathrm{Cl}_{0,\ d}(\mathbb{R})&(\sigma=-1) \end{cases} \end{align*}
\begin{align*} \mathrm{ST}_{d}=\begin{cases} \mathrm{Cl}_{d-1,\ 1}(\mathbb{R})&(\sigma=+1)\\ \mathrm{Cl}_{1,\ d-1}(\mathbb{R})&(\sigma=-1) \end{cases} \end{align*}
とする．このようにすると\sigma=+1の正規直交基底\left\{e_{i}\right\}_{i}を使ってそれぞれの正規直交基底は纏めて\left\{\sqrt{\sigma}e_{i}\right\}_{i}とかけ，ドット積・Minkowski内積は
\begin{align*} \sqrt{\sigma}e_{i}\cdot\sqrt{\sigma}e_{j}&=\sigma\delta_{ij}\\ \sqrt{\sigma}e_{\mu}\cdot\sqrt{\sigma}e_{\nu}&=\sigma\eta_{\mu\nu}\\ \end{align*}
となる．相対論では，時空はLorentz多様体として定義され，各点にMinkowski計量が与えられているため，物理量は時空代数を用いて記述すべきである．実際，基底に依存しない簡潔な記述を提供する．
すべての非退化複素対称双線型形式はベクトルの成分の二乗和になるように基底を取ることができるため，複素数上のClifford代数は線型空間の次元dに対して同型を除いてただ1つであり，\mathrm{Cl}_{d}(\mathbb{C})や\mathbb{C}\mathrm{l}_{d}とかく．実Clifford代数\mathrm{Cl}_{q,\ p}(\mathbb{R})の係数を複素化したものは複素Clifford代数\mathrm{Cl}_{q+p}(\mathbb{C})と同型であり，逆に\mathrm{Cl}_{q,\ p}(\mathbb{R})は\mathrm{Cl}_{q+p}(\mathbb{C})の部分代数である．
実Clifford代数は
\begin{align*} \mathrm{Cl}_{0,\ 0}(\mathbb{R})&\cong\mathbb{R}\\ \mathrm{Cl}_{0,\ 1}(\mathbb{R})&\cong\mathbb{C}\\ \mathrm{Cl}_{1,\ 0}(\mathbb{R})&\cong\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}\\ \mathrm{Cl}_{0,\ 2}(\mathbb{R})&\cong\mathbb{H}\\ \mathrm{Cl}_{1,\ 1}(\mathbb{R})&\cong\mathrm{Cl}_{2,\ 0}(\mathbb{R})\cong\mathrm{End}(\mathbb{R}^{2})\\ \mathrm{Cl}_{p,\ 0}(\mathbb{R})&\cong\mathrm{Cl}_{0,\ p-2}(\mathbb{R})\otimes\mathrm{Cl}_{2,\ 0}(\mathbb{R})\\ &\cong\mathrm{End}(\mathrm{Cl}_{0,\ p-2}(\mathbb{R})^{2})\\ \mathrm{Cl}_{0,\ q}(\mathbb{R})&\cong\mathrm{Cl}_{q-2,\ 0}(\mathbb{R})\otimes\mathrm{Cl}_{0,\ 2}(\mathbb{R})\\ &\cong\mathrm{Cl}_{q-2,\ 0}(\mathbb{R})\otimes\mathbb{H}\\ \mathrm{Cl}_{p,\ q}(\mathbb{R})&\cong\mathrm{Cl}_{p-1,\ q-1}(\mathbb{R})\otimes\mathrm{Cl}_{1,\ 1}(\mathbb{R})\\ &\cong\mathrm{End}(\mathrm{Cl}_{p-1,\ q-1}(\mathbb{R})^{2})\\ \mathbb{R}\otimes\mathbb{H}&\cong\mathbb{H}\\ \mathbb{C}\otimes\mathbb{H}&\cong\mathrm{End}(\mathbb{C}^{2})\\ \mathbb{H}\otimes\mathbb{H}&\cong\mathrm{End}(\mathbb{R}^{4}) \end{align*}
という同型が知られており，纏めると以下のような表になる．

p\backslash q 0 1 2 3 4 5 6 7
0 \mathbb{R} \mathbb{C} \mathbb{H} \mathbb{H}\oplus\mathbb{H} \mathrm{End}(\mathbb{H}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{8})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{R}^{8})
1 \mathbb{R}\oplus\mathbb{R} \mathrm{End}(\mathbb{R}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{2})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{H}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{16})
2 \mathrm{End}(\mathbb{R}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{2})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{R}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{4})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{H}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{16})
3 \mathrm{End}(\mathbb{C}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{4})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{R}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{8})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{H}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{16})
4 \mathrm{End}(\mathbb{H}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{8})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{R}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{16}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{16}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{16}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{16})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{H}^{16})
5 \mathrm{End}(\mathbb{H}^{2})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{H}^{2}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{16}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{16})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{R}^{16}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{32}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{32}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{32})
6 \mathrm{End}(\mathbb{H}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{4})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{H}^{4}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{16}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{32}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{32})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{R}^{32}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{64}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{64})
7 \mathrm{End}(\mathbb{C}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{8})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{H}^{8}) \mathrm{End}(\mathbb{H}^{16}) \mathrm{End}(\mathbb{C}^{32}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{64}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{64})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{R}^{64}) \mathrm{End}(\mathbb{R}^{128})

これ以降の同型は
\begin{align*} \mathrm{Cl}_{p,\ 0}(\mathbb{R})&\cong\mathrm{Cl}_{p-4,\ 0}(\mathbb{R})\otimes\mathbb{H}\otimes\mathrm{End}(\mathbb{R}^{2})\\ &\cong\mathrm{Cl}_{p-4,\ 0}(\mathbb{R})\otimes\mathrm{End}(\mathbb{H}^{2})\\ &\cong\mathrm{Cl}_{p-8,\ 0}(\mathbb{R})\otimes\mathrm{End}(\mathbb{H}^{2})\otimes\mathrm{End}(\mathbb{H}^{2})\\ &\cong\mathrm{End}(\mathrm{Cl}_{p-8,\ 0}(\mathbb{R})^{16})\\ \mathrm{Cl}_{0,\ q}(\mathbb{R})&\cong\mathrm{Cl}_{0,\ q-4}(\mathbb{R})\otimes\mathrm{End}(\mathbb{R}^{2})\otimes\mathbb{H}\\ &\cong\mathrm{Cl}_{0,\ q-4}(\mathbb{R})\otimes\mathrm{End}(\mathbb{H}^{2})\\ &\cong\mathrm{Cl}_{0,\ q-8}(\mathbb{R})\otimes\mathrm{End}(\mathbb{H}^{2})\otimes\mathrm{End}(\mathbb{H}^{2})\\ &\cong\mathrm{End}(\mathrm{Cl}_{0,\ q-8}(\mathbb{R})^{16})\\ \mathrm{Cl}_{p+8,\ q}(\mathbb{R})&\cong\mathrm{Cl}_{p,\ q+8}(\mathbb{R})\cong\mathrm{End}(\mathrm{Cl}_{p,\ q}(\mathbb{R})^{16}) \end{align*}
と容易に得ることができる．複素Clifford代数は
\begin{align*} \mathbb{C}\mathrm{l}_{0}&\cong\mathbb{C}\otimes\mathrm{Cl}_{0}\cong\mathbb{C}\\ \mathbb{C}\mathrm{l}_{1}&\cong\mathbb{C}\otimes\mathrm{Cl}_{1}\cong\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\\ \mathbb{C}\mathrm{l}_{d}&\cong\mathbb{C}\otimes\mathrm{Cl}_{d-2}\otimes\mathrm{End}(\mathbb{R}^{2})\\ &\cong\mathrm{End}(\mathbb{C}\mathrm{l}_{d-2}{}^{2})\\ \end{align*}
であるため
\begin{align*} \mathbb{C}\mathrm{l}_{2n}&\cong\mathrm{End}(\mathbb{C}^{2^{n}})\\ \mathbb{C}\mathrm{l}_{2n+1}&\cong\mathrm{End}(\mathbb{C}^{2^{n}})\oplus\mathrm{End}(\mathbb{C}^{2^{n}}) \end{align*}
となる．

直交群・狭義特殊直交群とピン群・狭義スピン群

(p,\ q)対称双線型形式\bullet\vee\bulletを計量とする有限次元実線型空間\mathrm{V}の元vに対し，二次形式が0でない\mathrm{V}の元a方向の鏡映変換は
\begin{align*} v'&=v-2a\frac{a\vee v}{a\vee a} \end{align*}
である．Clifford代数\mathrm{Cl}_{p,\ q}(\mathbb{R})だと考えると
\begin{align*} v'&=v-a\frac{2a\vee v}{a^{2}}\\ &=v-a^{-1}\left\{av+va\right\}\\ &=-a^{-1}va \end{align*}
と表せる．これは
\begin{align*} v'\vee w'&=\frac{v'w'+w'v'}{2}\\ &=\frac{a^{-1}vaa^{-1}wa+a^{-1}waa^{-1}va}{2}\\ &=a^{-1}\frac{vw+wv}{2}a\\ &=v\vee w \end{align*}
と計量を保存する．よってこの変換は直交群\mathrm{O}(p,\ q)の元であり，Cartan–Dieudonnéの定理より\mathrm{O}(p,\ q)を生成する．計量は保存し向きは保存しないため，変換のディタ―ミナントとしては-1である．偶数回の鏡映変換は特殊直交群\mathrm{SO}(p,\ q)を生成する．二次形式が0でない異なるベクトルつまり異なる斉次な1次の可逆元a，bのClifford積は
\begin{align*} ab&=a\vee b+a\wedge b\\ &=\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\frac{a\vee b}{\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}}+\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\frac{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}{\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}}\\ &=\begin{cases} \displaystyle\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\cos\frac{\theta}{2}+\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\sin\frac{\theta}{2}&\displaystyle\left(\left(\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)^{2}=-1\right)\\ \displaystyle\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\cosh\frac{\theta}{2}+\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\sinh\frac{\theta}{2}&\displaystyle\left(\left(\left(\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)^{2}=+1\right)\land\left(\frac{a\vee b}{\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}}\geqslant+1\right)\right)\\ \displaystyle-\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\cosh\frac{\theta}{2}+\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\sinh\frac{\theta}{2}&\displaystyle\left(\left(\left(\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)^{2}=+1\right)\land\left(\frac{a\vee b}{\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}}\leqslant-1\right)\right)\\ ab&\displaystyle\left(\left(\left(\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)^{2}=+1\right)\land\left(-1\leqslant\frac{a\vee b}{\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}}\leqslant+1\right)\right)\\ \end{cases}\\ &=\begin{cases} \displaystyle\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\exp\left(\frac{\theta}{2}\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)&\displaystyle\left(\left(\left(\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)^{2}=-1\right)\lor\left(\left(\left(\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)^{2}=+1\right)\land\left(\frac{a\vee b}{\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}}\geqslant+1\right)\right)\right)\\ \displaystyle-\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}\exp\left(-\frac{\theta}{2}\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)&\displaystyle\left(\left(\left(\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)^{2}=+1\right)\land\left(\frac{a\vee b}{\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}}\leqslant-1\right)\right)\\ \displaystyle ab&\displaystyle\left(\left(\left(\frac{a\wedge b}{\sqrt[4]{\left(a\wedge b\right)^{4}}}\right)^{2}=+1\right)\land\left(-1\leqslant\frac{a\vee b}{\sqrt[4]{a^{4}}\sqrt[4]{b^{4}}}\leqslant+1\right)\right)\\ \end{cases} \end{align*}
とかけ，2回の鏡映変換でかける\mathrm{SO}(p,\ q)の元のうち，鏡映方向のClifford積が斉次な2次の元の指数関数の実数倍でかける場合は狭義特殊直交群\mathrm{SO}_{+}(p,\ q)という単位元を含む\mathrm{SO}(p,\ q)の連結成分の元であり，そうでない場合は正定値と負定値の両方の向きを保たない\mathrm{SO}(p,\ q)の連結成分の元である．Baker–Campbell–Hausdorff公式より\mathrm{SO}_{+}(p,\ q)の元は斉次な2次の元\Thetaによって
\begin{align*} v'&=\exp\left(-\frac{\Theta}{2}\right)v\exp\left(\frac{\Theta}{2}\right) \end{align*}
という変換で表せる．ベクトルを-1倍する変換は，すべての直交する方向の鏡映変換で分解でき，正規直交基底\left\{e_{1},\ \ldots,\ e_{q},\ e_{q+1},\ \ldots,\ e_{q+p}\right\}を用いて
\begin{align*} (-1)^{q+p}e_{q+p}^{-1}\cdots e_{q+1}^{-1}e_{q}^{-1}\cdots e_{1}^{-1}ve_{1}\cdots e_{q}e_{q+1}\cdots e_{q+p}&=(-1)^{q+p+q}e_{q+p}\cdots e_{q+1}e_{q}\cdots e_{1}ve_{1}\cdots e_{q}e_{q+1}\cdots e_{q+p}\\ &=(-1)^{p+q+p-1}e_{q+p}\cdots e_{q+1}e_{q}\cdots e_{1}e_{1}\cdots e_{q}e_{q+1}\cdots e_{q+p}v\\ &=(-1)^{q-1+q}e_{q+p}\cdots e_{q+1}e_{q+1}\cdots e_{q+p}v\\ (-1)^{q+p}\left(e_{1}\cdots e_{q}e_{q+1}\cdots e_{q+p}\right)^{-1}ve_{1}\cdots e_{q}e_{q+1}\cdots e_{q+p}&=-v \end{align*}
と示すことができる．よって鏡映変換は
\begin{align*} -a^{-1}va&=(-1)^{q+p}\left(e_{1}\cdots e_{q}e_{q+1}\cdots e_{q+p}a\right)^{-1}ve_{1}\cdots e_{q}e_{q+1}\cdots e_{q+p}a \end{align*}
とかくことができ，q+pが偶数である場合，鏡映変換はT^{-1}vTの形でかけることがわかる．正定値の反転は
\begin{align*} (-1)^{p}e_{q+p}^{-1}\cdots e_{q+1}^{-1}ve_{q+1}\cdots e_{q+p}=(-1)^{p}\left(e_{q+1}\cdots e_{q+p}\right)^{-1}ve_{q+1}\cdots e_{q+p} \end{align*}
とかけ，負定値の反転は
\begin{align*} (-1)^{q}e_{q}^{-1}\cdots e_{1}^{-1}ve_{1}\cdots e_{q}=(-1)^{q}\left(e_{1}\cdots e_{q}\right)^{-1}ve_{1}\cdots e_{q} \end{align*}
とかけるが，それぞれ-1倍すれば入れ替わるので
\begin{align*} (-1)^{p}\left(e_{q+1}\cdots e_{q+p}\right)^{-1}ve_{q+1}\cdots e_{q+p}=(-1)^{q+1}\left(e_{1}\cdots e_{q}\right)^{-1}ve_{1}\cdots e_{q} \end{align*}
\begin{align*} (-1)^{q}\left(e_{1}\cdots e_{q}\right)^{-1}ve_{1}\cdots e_{q}=(-1)^{p+1}\left(e_{q+1}\cdots e_{q+p}\right)^{-1}ve_{q+1}\cdots e_{q+p} \end{align*}
とかける．p，qがどちらも奇数である場合，それぞれの反転は向きを保たず，またT^{-1}vTの形でかけて，恒等写像をI，負定値の反転をT，正定値の反転をPとかくなら，商群\mathrm{O}(p,\ q)/\mathrm{SO}_{+}(p,\ q)はKleinの四元群と同型な\left\{\left[I\right],\ \left[T\right],\ \left[P\right],\ \left[TP\right]\right\}になる．一般のp,\ q\geqslant1では
\begin{align*} \mathrm{O}(p,\ q)/\mathrm{SO}_{+}(p,\ q)=\left\{\left[I\right],\ \left[-e_{1}^{-1}\bullet e_{1}\right],\ \left[-e_{q+1}^{-1}\bullet e_{q+1}\right],\ \left[e_{q+1}^{-1}e_{1}^{-1}\bullet e_{1}e_{q+1}\right]\right\} \end{align*}
である．
直交群\mathrm{O}(p,\ q)の任意の元は非負整数n回の鏡映変換(-1)^{n}a_{n}^{-1}\cdots a_{1}^{-1}va_{1}\cdots a_{n}でかけるが，鏡映方向a_{i}の正負や大きさは関与しない．そこで正負の違いは残るが正規化し，両側から挟むものがつくる集合
\left\{a_{1}\cdots a_{n}\in\mathrm{Cl}_{p,\ q}(\mathbb{R})\middle|n\in\mathbb{Z}_{\geqslant0},\ a_{i}\in\mathrm{V},\ a_{i}^{2}=\pm1\right\}
を考える．この集合は群を成し，ピン群\mathrm{Pin}(p,\ q)という．q+pが偶数の場合，\mathrm{O}(p,\ q)の元は\mathrm{Pin}(p,\ q)の元Tを用いてT^{-1}vTとかける．\mathrm{Pin}(p,\ q)は正負の違いにより\mathrm{O}(p,\ q)の二重被覆になっている．ピン群のうち偶数個の積で表せる部分集合は部分群を成し，スピン群\mathrm{Spin}(p,\ q)という．\mathrm{Spin}(p,\ q)は同様に\mathrm{SO}(p,\ q)の二重被覆になっている．q+pの偶奇に関係なく，\mathrm{SO}(p,\ q)の元は\mathrm{Spin}(p,\ q)の元Tを用いてT^{-1}vTとかける．\mathrm{SO}_{+}(p,\ q)同様，斉次な2次の元の指数関数でかける元は狭義スピン群\mathrm{Spin}_{+}(p,\ q)という単位元を含む\mathrm{Spin}(p,\ q)の連結成分の元であり，\mathrm{SO}_{+}(p,\ q)の二重被覆となっている．直交群やその連結成分は(p,\ q)と(q,\ p)で同型であるが，ピン群はそうでない．物理学の文脈では符号の規約で議論が異なっては困るが，虚数単位の因子を入れることで同型にすることができる．

能動変換・受動変換

スピノル

Clifford代数の，有限次元複素線型空間を表現空間とする忠実表現を考える．ここではこの表現をスピノル表現，表現空間をスピノル空間，その元をスピノルということにする．普通，これをスピン群へ制限したものをスピノル表現などというが，物理学では実際，スピノル表現の次元はスピン群の表現が忠実であればどれだけ高くとっても困らない．また，ここでは物理量をClifford代数で考えているため，スピン群よりClifford代数の忠実表現を考える方が重要である．スピノル表現の像は，スピノル空間の自己準同型環の部分環となっており，Diracスピノルでも実際，例えば\gamma_{5}など時空代数に対応するものがない自己準同型写像を考える．実Clifford代数を考えている場合，前述した同型が知られているため，実数を複素数の部分体，四元数を\mathrm{End}(\mathbb{C}^{2})の部分環，直和を直積として読み替えれば十分なスピノル表現の次元を得ることができ，纏めると以下の表になる．

p\backslash q 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 1 2 4 4 4 8 16
1 2 2 2 4 8 8 8 16
2 2 4 4 4 8 16 16 16
3 2 4 8 8 8 16 32 32
4 4 4 8 16 16 16 32 64
5 8 8 8 16 32 32 32 64
6 8 16 16 16 32 64 64 64
7 8 16 32 32 32 64 128 128

緑は同型，赤は実部が同型である．複素Clifford代数を考えている場合，前述した同型が知られているため，直和を直積として読み替えれば十分なスピノル表現の次元を得ることができ
\begin{align*} \begin{cases} 2^{n}&(d=2n)\\ 2^{n+1}&(d=2n+1) \end{cases} =2^{\left\lceil\frac{d}{2}\right\rceil} \end{align*}
である．奇数次元ではスピノルの定義をスピン群に制限したものとは2倍の違いがでる．
スピノル空間の双対空間は双対スピノル空間ということにする．有限次元であるため，スピノル空間と双対スピノル空間は同じ次元であり，それらの間に反線型同型写像が存在し，それはスピノル空間上の非退化半双線型形式と全単射な対応が存在する．この対応として，ある非退化半双線型形式をカリー化して線型汎関数を得るというものを考える．今，スピノル空間にはHilbert空間における内積のような特別な非退化半双線型形式が無いため，スピノル空間と双対スピノル空間の間の反線型同型写像に対応する非退化半双線型形式を自由に選ぶことができる．