Показательная функция | это... Что такое Показательная функция? (original) (raw)

Показательная функция — математическая функция f(x) = a^x\,\!, где a называется основанием степени, а x — показателем степени.

Особо выделяется случай, когда в качестве основания степени выступает число e. Такая функция называется экспонентой (вещественной или комплексной).

Содержание

Вещественная функция

Определение показательной функции

Пусть a — неотрицательное вещественное число, x — рациональное число: x=\frac{m}{n}. Тогда a^x\,\! определяется по следующим правилам.

Для произвольного вещественного показателя x значение a^x можно определить как предел последовательности a^{r_n}, где r_n — рациональные числа, сходящиеся к x. Для экспоненты есть и другие определения через предел, например:

e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^{n}.

Свойства

График экспоненты

Используя функцию натурального логарифма \ln \, x, можно выразить показательную функцию с произвольным положительным основанием через экспоненту:

a^x = e^{x\cdot \ln a}

Эта связь позволяет ограничиться изучением свойств экспоненты.

Аналитические свойства:

{d \over dx} a^x = (\ln a) a^x.

В частности:

\,{d \over dx} e^x = e^x

Доказательство

I. Докажем, что {d \over dx} e^x = e^x

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{x+\Delta x}-e^x} {\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^x \cdot (e^{\Delta x}-1)} {\Delta x} = e^x \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x} - 1} {\Delta x} = e^x \cdot 1 = e^x. Ч. т. д.

Докажем, что \lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x} - 1} {\Delta x} = 1. Пусть e^{\Delta x} - 1 = u, тогда e^{\Delta x}=u+1 \Rightarrow \Delta x = \ln (u+1). Если \Delta x \to 0, то u = e^{\Delta x} - 1 \to 0

\lim_{\Delta x \to 0} \frac {e^{\Delta x} - 1} {\Delta x} = \lim_{u \to 0} \frac {u} {\ln (u+1)} = \lim_{u \to 0} \frac {1} {\frac {1} {u} \ln (u+1)} = \lim_{u \to 0} \frac {1} {\ln (u + 1)^{\frac {1} {u} }} = \frac {\lim_{u \to 0} 1} {\lim_{u \to 0} \ln (u+1)^{\frac {1} {u}}} = \frac {1} {\ln \lim_{u \to 0} (u+1)^{\frac {1} {u}}} = \frac {1} {\ln e} = 1.

II. {d \over dx} a^x = {d \over dx} \left (e^{\ln a} \right )^x = {d \over dx} e^{x \cdot \ln a} = e^{x \cdot \ln a} \cdot \ln a = a^x \cdot \ln a Ч. т. д.

Разложение в ряд:

e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots.

Асимптотика

Показательная функция растёт на бесконечности быстрее любой полиномиальной:

\lim\limits_{x\to \infty}\frac{x^n}{a^x}=0

Большая скорость роста может быть проиллюстрирована, например, задачей о складывании бумаги.

Комплексная функция

Для расширения экспоненты на комплексную плоскость определим её с помощью того же ряда, заменив вещественный аргумент на комплексный:

e^z = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!} = 1 + z + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} + \cdots

Эта функция имеет те же основные алгебраические и аналитические свойства, что и вещественная. Отделив в ряде для e^{ix} вещественную часть от мнимой, мы получаем знаменитую формулу Эйлера:

~e^{ix}=\cos x+i\sin x

Таким образом, комплексная экспонента периодична вдоль мнимой оси.

Показательная функция с произвольным комплексным основанием и показателем степени легко вычисляется с помощью комплексной экспоненты и комплексного логарифма.

Пример: i^i=e^{i~\ln(i)}; поскольку \ln (i) = i \frac{\pi} {2} (главное значение логарифма), окончательно получаем: i^i = e^{i \frac{i \pi} {2}} = e^{- \frac{\pi} {2}}.

См. также

Литература