Степенная функция | это... Что такое Степенная функция? (original) (raw)

Степенна́я фу́нкция — функция y=x^a , где (показатель степени) — некоторое вещественное число [1]. К степенным часто относят и функцию вида y=kx^a , где k — некоторый масштабный множитель.[2] Существует также комплексное обобщение степенной функции. На практике показатель степени почти всегда является целым или рациональным числом.

Вещественная функция

Область определения

Если показатель степени — целое число, то можно рассматривать степенную функцию на всей числовой прямой (кроме, возможно, нуля). В общем случае степенная функция определена при x>0 . Если a>0 , то функция определена также и при x=0 , иначе нуль является её особой точкой.

Рациональный показатель степени

Пример: из третьего закона Кеплера вытекает, что период T обращения планеты вокруг Солнца связан с большой полуосью A её орбиты соотношением: $T=kA^{3/2}$ (полукубическая парабола).

Свойства

См. также: Возведение в степень

Комплексная функция

Степенная функция комплексного переменного z, вообще говоря, определяется формулой[3]:

$y=z^c=e^{c \cdot \operatorname{Ln} (z)}$

Здесь показатель степени c — некоторое комплексное число. Значение функции, соответствующее главному значению логарифма, называется главным значением степени. Например, значение i^i равно $~e^{-(4 k+1)\frac{\pi}{2}},$ где k — произвольное целое, а его главное значение есть $~e^{i\ln(i)}=e^{-\frac{\pi}{2}}.$

Комплексная степенная функция обладает значительными отличиями от своего вещественного аналога. В силу многозначности комплексного логарифма она, вообще говоря, также имеет бесконечно много значений. Однако два практически важных случая рассматриваются отдельно.

При натуральном показателе степени функция однозначна и _n_-листна [4].
Если показатель степени — положительное рациональное число, то есть (несократимая) дробь $\frac{p}{q}$ , то у функции будет q различных значений[3].

См. также

Литература

Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 5. — С. 208-209.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, в трёх томах. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966.

Ссылки

Степенная функция.

Примечания

↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, §48: Важнейшие классы функций.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. М.: Наука,1978. Стр. 312.
↑ 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 526-527.
↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — С. 88. — 304 с.