Возведение в степень | это... Что такое Возведение в степень? (original) (raw)
Возведение в степень — бинарная операция, первоначально происходящая из многократного умножения натурального числа на самого себя. Обозначение: называется степенью с основанием и показателем .
Содержание
- 1 Натуральная степень
- 2 Целая степень
- 3 Рациональная степень
- 4 Вещественная степень
- 5 Комплексная степень
- 6 Степень как функция
- 7 Значок степени
- 8 См. также
- 9 Ссылки
Натуральная степень
Число называется _n_-й степенью числа , если
.
Свойства:
- запись не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть в общем случае левая ассоциативность не равна правой ассоциативности , результат будет зависеть от последовательности действий, например, , а . Принято считать запись равнозначной , а вместо можно писать просто , пользуясь предыдущим свойством.
- возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, , например, , но .
Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.
Целая степень
не определён
Рациональная степень
По определению,
(результат не определен при и )
См. корень степени q
Вещественная степень
Пусть .
В школе вещественную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными — рациональное. Тогда , где , , где — погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между и принимается за ответ.
Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)
Потенцирование
Потенцирование (от нем. potenzieren, возведение в степень) — это нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения:
Из определения логарифма вытекает, что . Таким образом, потенцирование означает возведение основания логарифма в степень, равную значению логарифма. Например, если десятичный логарифм числа равен , то искомое число равно .
Термин «потенцирование» впервые встречается у швейцарского математика Иоганна Рана (1659).
Комплексная степень
Сначала покажем, как вычисляется экспонента , где e — число Эйлера, z — произвольное комплексное число, .
Теперь рассмотрим общий случай , где оба являются комплексными числами. Проще всего это сделать, представив a в экспоненциальной форме и используя тождество , где Ln — комплексный логарифм:
Следует иметь в виду, что комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно.
Степень как функция
Поскольку в выражении принимает участие две переменных, то его можно рассматривать как:
- функцию переменной x (при этом y — параметр). Такая функция называется степенной. Это — частный случай полиномиальной функции.
- функцию переменной y (при этом x — параметр). Такая функция называется показательной. Её частный случай — экспонента.
- функцию двух переменных.
Значок степени
Исторически степень, начиная с Декарта, обозначали «двухэтажной» записью вида . Когда появились компьютеры и компьютерные программы, возникла проблема, состоящая в том, что в тексте компьютерных программ невозможно записать степень таким способом. В связи с этим изобрели особые значки для операции возведения в степень.
Первым таким значком были две звёздочки: **, используемые в языке Фортран. В появившемся несколько позже языке Алгол использовался значок стрелки: (о такой стрелке см. Стрелки Кну́та). Язык BASIC предложил символ ^ («циркумфлекс»), который приобрёл наибольшую популярность. Его теперь часто используют и при написании формул и математических выражений в текстовых файлах.
Примеры:
3^2=9; 5^2=25; 2^3=8; 5^3=125
Случается, что циркумфлекс используют и при написании сложных, громоздких математических выражений и формул на бумаге (особенно с громоздким показателем).
На компьютерной клавиатуре значок степени (циркумфлекс) находится на той же клавише, что и цифра 6. Для его ввода надо в режиме набора английского текста нажать Shift+6.
В случае нескольких степеней подряд, «многоэтажная» запись степени и запись её с помощью значка степени (значков потребуется несколько) имеют разную ассоциативность: В записи a^b^c^d^f (с помощью значка степени) ассоциативность левая, то есть возведения в степень выполняются в порядке очерёдности слева направо: ((((a^b)^c)^d)^f) — именно так вычисляет такое выражение (которое без скобок) программа Excel; в записи же (многоэтажный способ) ассоциативность правая, то есть возведения в степень выполняются в порядке справа налево: (a^(b^(c^(d^f)))).
См. также
- e (математическая константа)
- Логарифм — обратная к возведению в степень функция.
- Корень n-й степени — обратная к возведению в степень функция.
- Квадрат — возведение во вторую степень.
- Куб — возведение в третью степень.
- Тетрация — обобщение возведения в степень.
- Гипероператор
- Экспоненциальная запись
- Экспонента
Ссылки
- А. Б. Будак, Б. М. Щедрин «Элементарная математика» — Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ