Нульмерное пространство | это... Что такое Нульмерное пространство? (original) (raw)

Нульмерное пространство

Нульмерное пространство в смысле ind ― топологическое пространство, обладающее базой из множеств одновременно открытых и замкнутых в нём.

Вариации

Иногда нульмерность пространства понимается более узко.

Пространство называется нульмерным в смысле dim, если во всякое его конечное открытое покрытие можно вписать открытое покрытие, элементы которого не пересекаются (то есть имеет нулевую размерность Лебега).
Пространство называется нульмерным в смысле Ind, если любая окрестность любого его замкнутого подмножества содержит открыто-замкнутую окрестность этого подмножества.

Свойства

Каждое дискретное пространство нульмерно, однако нульмерное пространство может не иметь изолированных точек (пример ― пространство рациональных чисел $\mathbb Q$ ).
Все нульмерные пространства вполне регулярны.
Нульмерность пространства наследуется его подпространствами и влечёт сильную несвязность пространства: единственными связными множествами в нульмерном пространстве являются одноточечные и пустое. Однако последнее свойство, называемое вполне несвязностью, не равносильно нульмерности. Существуют ненульмерные пространства, в которых каждая точка представима в виде пересечения некоторого семейства открыто-замкнутых множеств, но среди таких пространств нет компактных.
В классе -пространств нульмерность в смысле ind вытекает как из нульмерности в смысле dim, так и из нульмерности в смысле Ind.
В классе метризуемых пространств со счетной базой, а также в классе компактов указанные три определения нульмерности равносильны.
Для всех метризуемых пространств нульмерность в смысле dim равносильна нульмерности в смысле Ind, однако известен пример нульмерного в смысле ind метризуемого пространства, которое не нульмерно в смысле Ind.
Ни нульмерность в смысле dim, ни нульмерность в смысле Ind не наследуется, вообще говоря, подпространствами.
Среди -пространств нульмерные пространства в смысле ind характеризуются с точностью до гомеоморфизма как подпространства обобщенных канторовых дисконтинуумов, то есть произведений двоеточий.
Любые вполне регулярные пространства можно получить как образы нульмерных пространств при достаточно хороших отображениях, например, при совершенных отображениях и при непрерывных открытых отображениях с компактными прообразами точек.
Однако непрерывные отображения, открытые и замкнутые одновременно, сохраняют нульмерность в смысле ind и в смысле Ind.

Литература

Александров П. С, Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности, М., 1973.

Категории:

Общая топология
Теория размерности

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Нульмерное пространство" в других словарях:

НУЛЬМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — в смысле ind пространство, обладающее базой из множеств одновременно открытых и замкнутых в нем. Каждое дискретное пространство нульмерно, однако Н. п. может не иметь изолированных точек (пример пространство рациональных чисел ). Все нульмерные… … Математическая энциклопедия
Нольмерное пространство — Нульмерное пространство в смысле ind ― топологическое пространство, обладающее базой из множеств одновременно открытых и замкнутых в нём. Вариации Иногда нульмерность пространства понимается более узко. Пространство называется нульмерным в смысле … Википедия
НУЛЬМЕРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ — непрерывное отображение ( топологич. пространства) такое, что нульмерное множество (в смысле ind) для всякого . Применение Н. о. и близких к ним позволяет свести исследование данного пространства к изучению другого, более простого. Так, многие… … Математическая энциклопедия
БЭРА ПРОСТРАНСТВО — 1) Всякое пространство, в к ром верна Бэра теорема (о полных пространствах). 2) Метрич. пространство, точками к рого являются конечные последовательности натуральных чисел, .а расстояние задается формулой: где первое натуральное k, для к рого Это … Математическая энциклопедия
Трёхмерное пространство — Трёхмерная метрика пространства … Википедия
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ — тихоновскоe произведение, семейства топологических пространств топологич. пространство где X декартово произведение (т. е. полное прямое произведение) множеств по и слабейшая (т. е. наименьшая) топология на множестве Xтакая, что все отображения… … Математическая энциклопедия
Размерность Лебега — У этого термина существуют и другие значения, см. Размерность (значения). Размерность Лебега или топологическая размерность размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега… … Википедия
Размерность топологического пространства — Размерность Лебега или топологическая размерность размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X обычно обозначается . Содержание 1 Определение 1.1 Для… … Википедия
КАНТОРОВО МНОЖЕСТВО — подмножество отрезка [0, 1] числовой оси, состоящее из всех чисел вида где ei равно 0 или 2. Построено Г. Кантором (G. Cantor, 1883). Геометрич. его описание (см. рис.): из отрезка [0, 1] выбрасывается его средняя треть интервал , затем из… … Математическая энциклопедия
БИКОМПАКТНОЕ РАСШИРЕНИЕ — (би)компактификация, расширение топологического пространства, являющееся бикомпактным пространством. Б. р. существуют у любого топологич. пространства, у любого T1 пространства есть Б. р., являющиеся T1 пространствами, но наибольший интерес… … Математическая энциклопедия