Размерность Лебега | это... Что такое Размерность Лебега? (original) (raw)

Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X обычно обозначается \dim X.

Содержание

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом \varepsilon>0 существует конечное открытое \varepsilon-покрытие X, имеющее кратность \leqslant n+1;

При этом

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X размерностью Лебега называется наименьшее целое число n такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства X существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности n+1.

При этом покрытие \mathcal P называется вписанным в покрытие \mathcal Q, если каждый элемент покрытия \mathcal P является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия \mathcal Q.

Примеры

История

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность n-мерного куба равна n. Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта \dim X (для класса метрических компактов) дал Урысон.

Литература