Конечнопорождённая абелева группа | это... Что такое Конечнопорождённая абелева группа? (original) (raw)
В абстрактной алгебре абелева группа 
называется конечнопорождённой, если существует конечный набор 
, такой что 
существует представление
где 
— целые числа. В таком случае говорится, что 
порождает группу 
или что 
порождают .
Очевидно, каждая конечная абелева группа является конечнопорождённой. Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы.
Примеры
Нет других конечнопорождённых групп. Группа 
рациональных чисел не является конечнопорожденной: если 
, возьмём натуральное число 
, взаимно простое со всеми их знаменателями; тогда 
не может быть порождено .
Классификация
Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа изоморфна прямому произведению простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида
где 
, и числа 
являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения 
однозначно определены (с точностью до порядка) группой , в частности, конечна тогда и только тогда, когда 
.
На основании того факта что 
будет изоморфно произведению 
и 
тогда и только тогда, когда 
и 
взаимно просты и 
, мы также можем представить любую конечнопорождённую группу в форме прямого произведения
где 
делит 
, который делит 
и так далее до 
. И снова, числа 
и 
однозначно заданы группой .