Словарь терминов теории групп | это... Что такое Словарь терминов теории групп? (original) (raw)

Для общего ознакомления с теорией групп см. Группа (математика) и Теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь.

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

P

p-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

А

Абелева группа. см. коммутативная группа

Абелеанизация группы G ― фактор-группа G/[G, _G_]

Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Антигомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

f(a * b) = f(b) × f(a)

для произвольных a и b в G (сравните с гомоморфизмом).

Абсолютно регулярная p-группa — конечная p-группа, в которой |G\,:\,pG| < p^p, где p G - подгруппа G, образованная p-ми степенями её элементов.

Г

Главный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором G i — максимальная нормальная в G подгруппа из G i + 1, для всех членов ряда.

Гомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) \to (H,\times) такое, что

f(a * b) = f(a) \times f(b)

для произвольных a и b в G.

Группа

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера — Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Групповая алгебра группы G над полем K — это векторное пространство над K, образующими которого являются элементы G, а умножение образующих соответствует умножению элементов G.

Д

Действие группы

Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.

Е

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе H — это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу a группы смежный класс a H. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H.

И

Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в группе G — число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы G по этой подгруппе H.

Индексы ряда подгрупп — индексы | G i + 1:G i | в определении субнормального ряда подгрупп.

К

Класс смежности/смежный класс (левый или правый) подгруппы H в G. Левый класс смежности элемента g \in G по подгруппе H в G есть множество

gH= \{gh|h\in H\}.

Аналогично определяется правый класс смежности:

Hg= \{hg|h\in H\}.

Класс сопряжённости элемента g \in G есть множество

\{hgh^{-1}|h\in G\}.

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,_G_] или G\; '.

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть _g*h_=h*g \forall g, h \in G.

Коммутатор элементов g и h есть элемент [g,h]=ghg−1h−1. Элементы g и h называют коммутирующими, если их коммутатор равен единичному элементу группы (такое происходит когда g h = h g).

Коммутатор подгрупп — множество всевозможных произведений \left\lbrace[g, h]| g\in G, h\in H \right\rbrace.

Композиционный ряд группы G — ряд подгрупп, в котором все факторы G i + 1 / G i — простые группы.

Конечная группа — группа с конечным числом элементов.

Конечная p-группа — p-группа конечного порядка p n.

Конечно заданная группа (или конечно определённая группа) — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, обладающая конечной системой образующих.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, Tor_G_, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

Л

Локальное свойство группы G. Говорят, что группа G обладает локальным свойством P, если любая конечно порождённая подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им.

Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

М

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Минимальная нормальная подгруппа

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Н

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

N(H)=\{g\in G|gHg^{-1}=H\}.

Нормальная подгруппа (инвариантная подгруппа, нормальный делитель). H есть нормальная подгруппа G, если для любого элемента g в G gH = Hg, то есть правые и левые классы смежности H в G совпадают. Иначе говоря, если \forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H.

Нормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором G i нормальна в G, для всех членов ряда.

П

Перестановочные элементы — пара элементов a,b\in G такие что a b = b a.

Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, <_S_> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Подгруппа Томпсона J(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из G.

Подгруппа Фиттинга F(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из G.

Подгруппа Фраттини Φ(G) группы G — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы G, если таковые существуют, и сама группа G в противном случае.

Полинильпотентная группа

Полугруппа

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом \phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H) (обозначается по разному, в том числе G ⋊φ H) — множество G × H, наделенное операцией *, для которой (_g_1,_h_1) * (_g_2,_h_2) = (_g_1ϕ(_h_1)(_g_2),_h_1_h_2) для любых g_1,g_2 \in G, h_1,h_2 \in H.

Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что g m = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной {e} и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G_×_H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (_g_1,_h_1)(_g_2,_h_2) = (_g_1 · _g_2,_h_1•_h_2).

Р

Расширение группы — группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал S(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из G.

Ряд подгрупп — конечная последовательность подгрупп _G_0,_G_1,...,G n называется рядом подгрупп, если G_i \leq G_{i+1}, для всех i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G. Такой ряд записывают в виде

1=G_0\leq G_1\leq \dots \leq G_n=G

или в виде

G=G_n\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_0=1

Регулярная p-группa — конечная p-группа, для любой пары элементов x и y которой найдется элемент u коммутанта подгруппы, порожденной этими элементами, такой, что (x y)p = x p y p u p.

С

Сверхразрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа, порождённая множеством A — это группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Свободное произведение

Силовская подгруппа — _p_-подгруппа в G, имеющая порядок p n, где | G | = p n s, НОД(p,s) = 1.

Соотношение — тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).

Стабилизатор элемента p множества M, на котором действует группа G — подгруппа St_G(p) \subset G, все элементы которой оставляют p на месте: g\cdot p = p.

Субнормальный ряд подгрупп — ряд подгрупп, в котором подгруппа G i нормальна в подгруппе G i + 1, для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

(a H) * (b H) = (a b)H.

Факторы субнормального ряда — фактор-группы G i + 1 / G i в определении субнормального ряда подгрупп.

Х

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = {g \in G | gh = hg для любого h \in G},

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, каждый элемент которой коммутирует с этим элементом.

Центральный ряд подгрупп — нормальный ряд подгрупп, в котором G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i}), для всех членов ряда.

Циклическая группа — группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Э

Экспонента exp(G) конечной группы G — числовая характеристика группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы G.

Я

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма

Литература