Гармоническое число | это... Что такое Гармоническое число? (original) (raw)

В математике _n_-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

$H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}.$

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Содержание

Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
$\begin{cases} H_n = H_{n-1} + \frac{1}{n} \\ H_1 = 1 \end{cases}$
Также верно соотношение:
$H_n = \gamma + \psi(n + 1) = \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)} + \frac{1}{n} + \gamma$ ,
где $\psi(n)$ — дигамма-функция, $\gamma=- \psi(1)$ — постоянная Эйлера — Маскерони.

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках отличных от точек натурального ряда):

Интегральные представления:
$H_x = \int_0^1 \frac{-1 + t^x}{-1 + t} dt, \quad Re(x) > -1$
$H_x = \int_0^\infty \frac{1 - e^{tx}}{-1 + e^t} dt, \quad Re(x) > -1$
Предельные представления:
$H_x = \lim_{n \to \infty} \left( \ln(n) - \sum_{k=0}^n \frac{1}{x + k + 1} \right) + \gamma$
$H_x = x \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(k + 1)(x + k + 1)}$
Разложение в ряд Тейлора в точке :
$H_x = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \zeta(k + 1) x^k = \zeta(2) x - \zeta(3) x^2 + \zeta(4) x^3 - \zeta(5) x^4 + \cdots,$
где $\zeta(x)$ — дзета-функция Римана.
Асимптотическое разложение:
$H_x = \gamma + \ln(x) + \frac{1}{2x} - \frac{1}{12x^2} + \frac{1}{120x^4} - \frac{1}{252x^6} + \frac{1}{240x^8} - \frac{1}{132x^{10}} + \cdots$

$H_{1/2} = 2 - 2\ln2$
$H_{1/3} = 3 - \frac{3 \ln3}{2} - \frac{\pi}{2 \sqrt{3}}$
$H_{1/4} = 4 - 3\ln2 - \frac{\pi}{2}$
$H_{1/5} = 5 - \frac{5 \ln5}{4} - \frac{1}{2} \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}} } \pi - \frac{\sqrt{5}}{2} \ln\phi,$

![H_{1/7} = 7 - \ln14 - \frac{\pi}{2} \cot\frac{\pi}{7}
- 2 \cos\left(\frac{ \pi}{ 7}\right) \ln\left(\cos\frac{ \pi}{14}\right) + 2 \sin\left(\frac{3\pi}{14}\right) \ln\left(\sin\frac{ \pi}{ 7}\right)
- 2 \sin\left(\frac{ \pi}{14}\right) \ln\left(\cos\frac{3\pi}{14}\right)](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/94b20df387d22456faf9a80ad81c5861.png)

$\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k} = \infty$
$\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2} = 2 \zeta(3)$
$\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^3} = \frac{5}{4} \zeta(4) = \frac{\pi^4}{72}$
$\sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^4} = 3 \zeta(5) - \zeta(2)\zeta(3) = 3 \zeta(5) - \frac{\pi^2}{6}\zeta(3)$

Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа выполняется сравнение:
$H_{p-1} \equiv 0 \pmod{p^2}.$

В 2002 году Lagarias доказал,[1] что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

$\sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}$

верно при всех целых $n \ge 1$ со строгим неравенством при n > 1 , где $\sigma(n)$ — сумма делителей числа .

↑ Jeffrey Lagarias An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis // Amer. Math. Monthly. — 2002. — № 109. — С. 534-543.