Целое алгебраическое число | это... Что такое Целое алгебраическое число? (original) (raw)

Целыми алгебраическими числами называются комплексные (и в частности вещественные) корни многочленов с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом, равным единице.

По отношению к сложению и умножению комплексных чисел, целые алгебраические числа образуют кольцо \Omega. Очевидно, \Omega является подкольцом поля алгебраических чисел и содержит все обычные целые числа.

Пусть u — некоторое комплексное число. Рассмотрим кольцо \mathbb{Z}[u], порождённое добавлением u к кольцу обычных целых чисел \mathbb{Z}. Оно образовано всевозможными значениями f(u), где f(z) — многочлен с целыми коэффициентами. Тогда имеет место следующий критерий: число u является целым алгебраическим числом тогда и только тогда, когда \mathbb{Z}[u] — конечнопорождённая абелева группа.

Примеры целых алгебраических чисел

Свойства

История

Теорию целых алгебраических чисел создали в XIX веке Гаусс, Якоби, Дедекинд, Куммер и другие. Интерес к ней был, в частности, вызван тем, что исторически эта структура оказалась первой в математике, где было обнаружено неоднозначное разложение на простые множители. Классические примеры построил Куммер; скажем, в подкольце целых алгебраических чисел вида a+b\sqrt{-5} имеют место 2 разложения:

6 = 2 \cdot 3 = (1+\sqrt{-5}) \cdot (1-\sqrt{-5}),

причём в обоих случаях все множители — простые, то есть неразложимы в этом подкольце.

Исследование этой проблемы привело к открытию важных понятий идеала и простого идеала, в структуре которых разложение на простые множители стало возможным определить однозначно.

Литература