Обратимый элемент | это... Что такое Обратимый элемент? (original) (raw)
Обратимым элементом, а также единицей кольца или делителем единицы, называется всякий элемент кольца, для которого существует обратный элемент относительно умножения, то есть такой элемент
, что
, где e — единичный элемент кольца.
Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу, называемую группой единиц или группой обратимых элементов.
Если — делитель единицы, то элементы
и
называются ассоциированными с
.
Обычно понятия делителя единицы и ассоциированного элемента употребляются для областей целостности.
Примеры
- В кольце целых чисел два делителя единицы: +1 и -1.
- В кольце вычетов по модулю m, обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m. Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов.
- В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы:
.
- В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.
Литература
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.:, Наука, 1975.
- Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра, т.1 — М.:, ИЛ, 1963.
- Ленг С. Алгебра — М.:, Мир, 1967.