Область целостности | это... Что такое Область целостности? (original) (raw)

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителя нуля (произведение ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности — это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Содержание

1 Примеры
2 Делимость, простые и неприводимые элементы
3 Свойства
4 Вариации и обобщения
5 Литература

Примеры

Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел $\mathbb Z$ .
Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо $\mathbb{Z}[x]$ многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо $\mathbb{R}[x,y]$ многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.
Множество действительных чисел вида $a+b\sqrt{2}$ есть подкольцо поля $\mathbb{R}$ , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида , где и целые (множество Гауссовых целых).
Пусть — связное открытое подмножество комплексной плоскости $\mathbb{C}$ . Тогда кольцо всех голоморфных функций $f:U\rightarrow\mathbb{C}$ будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
Если — коммутативное кольцо, а — идеал в , то факторкольцо целостное тогда и только тогда, когда — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть и — элементы целостного кольца . Говорят, что « делит » или « — делитель » (и пишут $a\mid b$ ), если и только если существует элемент $x\in K$ такой, что ax=b .

Делимость транзитивна: если делит и делит , то делит . Если делит и , то делит также их сумму b+c и разность b-c .

Для кольца с единицей элементы $a\in K$ , которые делят 1, называются единицами или делителями единицы. Они и только они обратимы в . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a=b*e , где e — обратимый элемент.

Ненулевой элемент , не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент называется простым, если из того, что $p\mid ab$ , следует $p\mid a$ или $p\mid b$ . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце $\mathbb{Z}$ , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
- Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
Если ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над также будут областями целостности.
Если ― коммутативное кольцо с единицей и ― некоторый идеал в , то кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал прост.
Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.
Для любой области целостности существует поле частных.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература

Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7