Интегральный признак Коши — Маклорена | это... Что такое Интегральный признак Коши — Маклорена? (original) (raw)

Интегральный признак Коши — Маклорена

У этого термина существуют и другие значения, см. Признак Коши.

Интегральный признак Коши-Маклорена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на ![1,\infty), последний часто может быть найден в явном виде.

Формулировка теоремы

Пусть для функции f(x) выполняется:

$f(x)>0 \ \forall x$ (функция принимает только положительные значения)
$f(x_1)>f(x_2) \Leftrightarrow x_1 < x_2$ (функция монотонно убывает)
f(n) = a n

Тогда ряд $\sum_{n=1}^\infty a_n$ и несобственный интеграл $\int\limits_1^\infty\!f(x)\,dx$ сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке
Площадь большей фигуры равна S b = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n − 1)
Площадь меньшей фигуры равна S s = f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n)
Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна $S_{tr}=\int\limits_1^n f(x)\,dx$
Получаем $S_s \leqslant S_{tr} \leqslant S_b \; \Rightarrow \; S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}$
Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

Примеры

Оценка остатка ряда

Интегральный признак Коши позволяет оценить остаток r n знакоположительного ряда. Из полученного в доказательстве выражения

$S_n - a_1 \leqslant \int\limits_1^n f(x)\,dx \leqslant S_{n-1}$

с помощью несложных преобразований получаем:

$\int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx \leqslant r_n \leqslant \int\limits_n^\infty f(x)\,dx \leqslant a_n + \int\limits_{n+1}^\infty f(x)\,dx$ .

См. также

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Интегральный признак Коши — Маклорена" в других словарях:

Интегральный признак Коши — У этого термина существуют и другие значения, см. Признак Коши. Интегральный признак Коши Маклорена признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к… … Википедия
Признак Коши — Термин «признак Коши» может относиться к одному из следующих утверждений: Радикальный признак Коши Интегральный признак Коши Маклорена Критерий Коши См. также Теорема Коши … Википедия
Признак сходимости д’Аламбера — Признак д’Аламбера признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г. Если для числового ряда существует такое число q, 0 < q < 1, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство … Википедия
КОШИ ПРИЗНАК — 1) К. п. сходимости числового ряда: если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число что, начиная с нек рого номера, выполняется неравенство равносильное условию то данный ряд сходится. Если же, начиная с нек рого номера … Математическая энциклопедия
Признак Ермакова — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Василием Ермаковым. Его специфика заключается в том, что он превосходит все прочие признаки своей чувствительностью . Эта работа опубликована в статьях: «Общая теория… … Википедия
Признак Жамэ — признак сходимости числовых рядов с положительными членами, установленный Пьером Жамэ. Содержание 1 Формулировка 2 Формулировка в предельной форме … Википедия
Абсолютная сходимость — У этого термина существуют и другие значения, см. Сходимость. Сходящийся ряд называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе сходящимся условно. Аналогично, если несобственный интеграл от функции сходится, то он… … Википедия
Ряд — I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия
Ряд (математич.) — Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия
РЯД — б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия