Критерий сходимости знакоположительных рядов | это... Что такое Критерий сходимости знакоположительных рядов? (original) (raw)

Критерий сходимости положительных рядов (критерий Коши) — основной признак сходимости числовых рядов, установленный Огюстеном Коши.

Положительный ряд сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.

Содержание

Доказательство

Необходимое условие

Так как ряд сходится, то последовательность частичных сумм имеет предел. Следовательно она ограничена. А значит она ограничена и снизу и сверху. Доказано

Достаточное условие

Дан положительный ряд и последовательность частичных сумм ограничена сверху. Покажем, что наша последовательность(из членов ряда) неубывающая: S(n+1)- S(n)=a(n+1) Теперь используем свойство из теоремы о монотонной последовательности и получим, что последовательность частичных сумм сходится (она монотонно не убывает и ограничена сверху), следовательно ряд сходится (по определению).

Строгая формулировка

Доказательство

Последовательность \,(s_n) частных сумм ряда \sum a_k сходится тогда и только тогда, когда она является фундаментальной, то есть

\forall \,\varepsilon > 0, \exists \,\nu_\varepsilon, \forall n, \forall p,

\,n \geqslant \,\nu_\varepsilon \Rightarrow \left|s_{n+p} - s_n\right| \leqslant \varepsilon,

что равносильно условию \,(1), так как \,s_{n+p} - s_n = a_{n+1} + ... + a_{n+p}.

Литература

Просмотр этого шаблона Признаки сходимости рядов
Для знакоположительныхрядов Необходимое условие · Основной критерий · Признак сравнения · Признак Куммера · Признак Гаусса · Радикальный признак Коши · Интегральный признак · Признак Д’Аламбера · Степенной признак · Логарифмический признак · Признак Раабе · Признак Бертрана · Признак Жамэ · Признак Ермакова · Признак Лобачевского · Признак Реткеса (англ.) · Телескопический признак \sum^\infty_{n=1}a_n
Для знакочередующихсярядов Признак Лейбница
Для рядов вида \sum^\infty_{n=1}a_n b_n Признак Абеля · Признак Дедекинда · Признак Дюбуа-Реймона · Признак Дирихле
Для функциональных рядов Признак Вейерштрасса
Для рядов Фурье Признак Дини · Признак Валле-Пуссена · Признак Жордана · Признак Юнга · Признак Салема · Признак Лебега · Признак Лебега–Гергена · Признак Марцинкевича