Теорема Наполеона | это... Что такое Теорема Наполеона? (original) (raw)
Теорема Наполеона — утверждение евклидовой планиметрии о равносторонних треугольниках:
Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний
Треугольники могут быть построены вовнутрь (все) — утверждение сохранит силу.
Получаемый таким образом треугольник называют треугольником Наполеона (внутренним и внешним).
Теорема часто приписывается Наполеону Бонапарту (1769—1821). Возможно, однако, что её предложил У. Резерфорд в публикации 1825 года The Ladies' Diary.[1]
Доказательства
Данная теорема может быть доказана несколькими способами. Один из них использует поворот и теорему Шаля (3 последовательных поворота возвращают плоскость на место). Похожий способ использует поворотную гомотетию (при применении 2 гомотетий с равными коэффициентами MN и LN переходят в один отрезок CZ). Другие способы более прямолинейны, но и более громоздки.
Связь с другими утверждениями
- Обобщение — теорема Петра-Неймана-Дугласа [2]
Теорема Наполеона обобщается на случай произвольных треугольников следующим образом:
Если подобные треугольники любой формы построены на сторонах треугольника внешним образом так, что каждый повёрнут относительно предыдущего, и любые три соответствующие точки этих треугольников соединены, то итоговый треугольник будет подобен этим внешним треугольникам.
Аналогом теоремы Наполеона для параллелограммов является первая теорема Тебо.
См. также
Ссылки
- Теорема Наполеона в анимации.
- Weisstein, Eric W. Теорема Наполеона (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.