Интервальная арифметика | это... Что такое Интервальная арифметика? (original) (raw)

Интервальная арифметика — математическая структура, которая для вещественных интервалов определяет операции, аналогичные обычным арифметическим. Эту область математики называют также интервальным анализом или интервальными вычислениями. Данная математическая модель удобна для исследования различных прикладных объектов:

Величины, значения которых известны только приближённо, то есть определён конечный интервал, в котором эти значения содержатся.
Величины, значения которых в ходе вычислений искажены ошибками округления.
Случайные величины.

Объекты и операции интервальной арифметики можно рассматривать как обобщение модели вещественных чисел, поэтому интервалы в ряде источников называются интервальными числами. Практическая важность этой модели связана с тем, что результаты измерений и вычислений почти всегда имеет некоторую погрешность, которую необходимо учесть и оценить.

Операции над интервалами

Мы будем рассматривать всевозможные конечные вещественные интервалы $[a,b]\ (a \leqslant b)$ . Операции над ними определяются следующим образом:

Сложение: [a,_b_] + [c,_d_] = [a + c, b + _d_]
Вычитание: [a,_b_] − [c,_d_] = [a − d, b − _c_]
Умножение: [a,_b_] × [c,_d_] = [min (ac, ad, bc, bd), max (ac, ad, bc, bd)]
Деление: [a,_b_] / [c,_d_] = [min (a/c, a/d, b/c, b/d), max (a/c, a/d, b/c, b/d)]

Из определения видно, что интервал-сумма содержит всевозможные суммы чисел из интервалов-слагаемых и определяет границы множества таких сумм. Аналогично трактуются прочие действия. Отметим, что операция деления определена только в том случае, когда интервал-делитель не содержит нуля.

Вырожденные интервалы, у которых начало и конец совпадают, можно отождествить с обычными вещественными числами. Для них данные выше определения совпадают с классическими арифметическими действиями.

Свойства операций

Сложение и умножение интервалов коммутативны и ассоциативны. Дистрибутивное свойство имеет место в ослабленном виде:

$X ( Y + Z ) \subset XY + XZ$

Литература

Алефельд Г., Херцбергер Ю.. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 356 с.
Добронец Б. С. Интервальная математика. Красноярск: Издательство КГУ, 2004.
Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ. М.: 2007.
Шокин Ю. И. Интервальный анализ. Новосибирск: Сибирское отделение изд-ва «Наука», 1981.

Ссылки

Типы данных
Неинтерпретируемые	Бит • Ниббл • Байт • Трит • Трайт • Слово
Числовые	Целый • С фиксированной запятой • С плавающей запятой • Рациональный • Комплексный • Длинный • Интервальный
Текстовые	Символьный • Строковый
Указатель	Адрес • Ссылка
Композитные	Алгебраический тип данных (обобщённый) • Массив • Ассоциативный массив • Класс • Список • Кортеж • Объект • Option type • Product • Структура • Множество • Объединение (tagged)
Другие	Логический • Низший тип • Коллекция • Перечисляемый тип • Исключение • First-class function • Opaque data type • Recursive data type • Семафор • Поток • Высший тип • Type class • Unit type • Void
Связанные темы	Абстрактный тип данных • Структура данных • Интерфейс • Kind (type theory) • Примитивный тип • Subtyping • Шаблоны C++ • Конструктор типа • Parametric polymorphism