Многочлены Чебышёва | это... Что такое Многочлены Чебышёва? (original) (raw)
Многочле́ны Чебышёва — две последовательности многочленов T n(x) и U n(x), названные в честь Пафнутия Львовича Чебышёва.
Многочлены Чебышёва играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышёва первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.
Многочлены Чебышёва первого рода
Многочлен Чебышёва первого рода T n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2_n_ - 1, который меньше всего отклоняется от нуля на интервале [ − 1,1]. Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлены Чебышёва второго рода
Многочлен Чебышёва второго рода U n(x) характеризуется как многочлен степени n со старшим коэффициентом 2_n_, интеграл от абсолютной величины которого по интервалу [ − 1,1] принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышёва — Коркина и Золотарёва.
Содержание
- 1 Рекурсивное определение
- 2 Явные формулы
- 3 Тригонометрическое определение
- 4 Примеры
- 5 Свойства
- 6 Вариации и обобщения
- 7 Ссылки
- 8 Литература
Рекурсивное определение
Многочлены Чебышёва первого рода T n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
Многочлены Чебышёва второго рода U n(x) могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
Явные формулы
Многочлены Чебышёва являются решениями уравнения Пелля:
в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:
Из последнего тождества также следуют явные формулы:
Тригонометрическое определение
Многочлены Чебышёва первого рода могут быть также определены с помощью равенства:
или, что почти эквивалентно,
Многочлены Чебышёва второго рода U n(x) могут быть также определены с помощью равенства:
Примеры
Несколько первых многочленов Чебышёва первого рода
Несколько первых многочленов Чебышёва второго рода
Свойства
Многочлены Чебышёва обладают следующими свойствами:
T n(1) = 1 | T n( − 1) = ( − 1)n | T_2_n(0) = ( − 1)n | T_2_n + 1(0) = 0 |
---|---|---|---|
U n(1) = n + 1 | U_2_n(0) = ( − 1)n | U_2_n + 1(0) = 0 |
Вариации и обобщения
- Вопрос о многочленах минимальной нормы с фиксированными коэффициентами при двух старших степенях был рассмотрен позднее Золотарёвым, найденные им полиномы носят название многочлены Золотарёва.
- многочлены Фабера
Ссылки
- Васильев Н., Зелевинский А. Многочлены Чебышёва и рекуррентные соотношения // Квант. — 1982. — № 1. — С. 12-19.
- Сайт, посвящённый методу дискретных особенностей в задачах математической физики, который основан на интерполяционных формулах с использованием полиномов Чебышёва
Литература
- Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
Ортогональные многочлены |
---|
Многочлены Бернштейна-Сеге • Многочлены Бесселя • Многочлены Гегенбауера • Многочлены Гейне-Ахиезера • Многочлены Лагерра • Многочлены Лежандра • Многочлены Полачека • Многочлены Чебышёва • [Многочлены Эрмита]] • Многочлены Якоби |