Функция Мёбиуса | это... Что такое Функция Мёбиуса? (original) (raw)

Функция Мёбиуса $\mu(n)$ — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Содержание

1 Определение
2 Свойства и приложения
3 Обращение Мёбиуса
- 3.1 Первая формула обращения Мёбиуса
- 3.2 Вторая формула обращения Мёбиуса
4 См. также

Определение

$\mu(n)$ определена для всех натуральных чисел и принимает значения ${-1,\;0,\;1}$ в зависимости от характера разложения числа на простые сомножители:

По определению также полагают $\mu(1)=1$ .

50 первых точек

Свойства и приложения

Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел и выполняется равенство $\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)$ .

Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю

$\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}$

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств состоящих из нечётного числа элементов равно количеству различных подмножеств состоящих из чётного числа элементов — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

Функция Мёбиуса связана с функцией Мертенса отношением

$M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).$

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.

Обращение Мёбиуса

Первая формула обращения Мёбиуса

Для арифметических функций и ,

$g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)$

тогда и только тогда, когда

$f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g(n/d)$ .

Вторая формула обращения Мёбиуса

Для вещественнозначных функций f(x) и g(x) , определенных при $x\geqslant 1$ ,

$g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)$

тогда и только тогда, когда

$f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right)$ .

Здесь сумма $\sum_{n\leqslant x}$ интерпретируется как $\sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}$ .

См. также

Свёртка Дирихле

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 23 мая 2012.