Внешняя алгебра | это... Что такое Внешняя алгебра? (original) (raw)

Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.

Определение

Внешняя алгебра $\bigwedge V$ векторного пространства $\ V$ над полем $\ K$ — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком $\wedge$ , а порождающими элементами являются $1, \mathbf{e_1, \dots ,e_n}$ , где $\mathbf{e_1,\dots,e_n}$ — базис пространства $\ V$ . Определяющие соотношения имеют вид

$\mathbf e_i \wedge \mathbf e_j = -\mathbf e_j \wedge \mathbf e_i \,(i,j=1,\dots,n),\,\mathbf e_i\wedge \mathbf e_i=0$ ;
$\mathbf e_i\wedge 1=1\wedge \mathbf e_i = \mathbf e_i \,(i=1,\dots,n),\,1\wedge 1=1$ .

Внешняя алгебра обычно обозначается $\wedge V$ , она не зависит от выбора базиса.

Связанные определения

Свойства

Имеют место равенства:

$\operatorname{dim}\wedge V=2^n$

$\operatorname{dim}\wedge^r V=C^r_n$ , в частности

$\wedge^r V=0$ при r>n .

$\wedge V = K \oplus \bigoplus_{r=1}^{\infty} \wedge^r V$

Ссылки

Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.

Внешняя алгебра | это... Что такое Внешняя алгебра? (original) (raw)

Определение

Связанные определения

Свойства

Ссылки

См. также