Факторион | это... Что такое Факторион? (original) (raw)
Факторион — такое натуральное число, которое равно сумме факториалов своих цифр.
Содержание
Полный список факторионов
Верхняя граница
Определив верхнюю границу для факторионов, несложно (например, полным перебором) показать, что существует ровно 4 таких числа.
Любое n-значное число не меньше 
. Однако при этом сумма факториалов его цифр не больше 
, где 
. Так как первое число возрастает быстрее второго (первое зависит от n экспоненциально, а второе — линейно), а уже 
. Следовательно все факторионы состоят из не более, чем 7 цифр. Даже точнее — они меньше 
.
Аналогичные рассуждения помогают доказать конечность числа многих обобщенных факторионов (см. ниже).
Обобщения
В других системах счисления
Таблица факторионов в системах счисления вплоть до шестнадцатеричной:
| Основание | Максимальное кол-во цифр | Факторионы |
|---|---|---|
| 2 | 2 | 1, 10 |
| 3 | 2 | 1, 2 |
| 4 | 3 | 1, 2, 13 |
| 5 | 3 | 1, 2, 144 |
| 6 | 4 | 1, 2, 41, 42 |
| 7 | 5 | 1, 2 |
| 8 | 5 | 1, 2 |
| 9 | 6 | 1, 2, 62558 |
| 10 | 7 | 1, 2, 145, 40585 |
| 11 | 8 | 1, 2, 24, 44, 28453 |
| 12 | 8 | 1, 2 |
| 13 | 9 | 1, 2, 83790C5B |
| 14 | 10 | 1, 2, 8B0DD409C |
| 15 | 11 | 1, 2, 661, 662 |
| 16 | 11 | 1, 2, 260F3B66BF9 |
k-факторионы
k-факторион — число, равное сумме факториалов своих цифр, умноженной на k. Тогда обычные — 1-факторионы.
Полные списки k-факторионов:
- k=2: 817926
- k=3: 138267, 1103790
- k=4: 12, 32, 104, 23076
- k=5: 10
Обобщения Пиковера
В своей книге «Keys to Infinity» Clifford A. Pickover (1995) предложил следующие обобщения:
- Факторион первого рода — равен произведению факториалов своих цифр.
- Факторион второго рода — при сложении факториалов можно разбивать не только на цифры, но и на подчисла.
Оба определения порождают гораздо бо́льшие числа, чем обычное определение. Хотя факторионы первого рода в десятичной системе только вырожденные — 1 и 2, найдено несколько факторионов второго рода (жирным выделены единственные группировки цифр):
- 2 432 902 008 177 819 519
- 51 090 942 171 710 544 079 и 51 090 942 171 710 982 398
- 403 291 461 126 605 635 584 809 043 и 403 291 461 126 605 635 584 814 796
Для обобщений обоих типов неизвестно, конечно ли число соответствующих факторионов.
Литература
- Gardner, M. «Factorial Oddities.» Ch. 4 in Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-of-Mind from Scientific American. New York: Vintage, pp. 61 and 64, 1978.
- Madachy, J. S. Madachy’s Mathematical Recreations. New York: Dover, p. 167, 1979.
- Pickover, C. A. «The Loneliness of the Factorions.» Ch. 22 in Keys to Infinity. New York: W. H. Freeman, pp. 169—171 and 319—320, 1995.