Алгебра Клиффорда | это... Что такое Алгебра Клиффорда? (original) (raw)

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей Cl(E, Q(,)) над некоторым коммутативным кольцом (Е — векторное пространство, в дальнейшем обобщении — свободный K-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на E билинейной формой .

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E_⊕_K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Содержание

1 Формальное определение
- 1.1 Комментарий
- 1.2 Примеры вещественных и комплексных алгебр
2 Свойства
- 2.1 Матричные представления алгебр Клиффорда
3 Ссылки

Формальное определение

Пусть — коммутативное кольцо с единицей, — свободный K-модуль, — квадратичная форма на . Алгеброй Клиффорда квадратичной формы (или пары (E, Q) ) называется факторалгебра Cl(E, Q) тензорной алгебры T(E) , -модуля по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

$x \otimes x - Q(x,x)1,~~x\in E$

Элементы (векторы) из , являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы Cl(Q) , причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

$E \hookrightarrow Cl(Q)$ .

Комментарий

Если есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда — линейное пространство, а в качестве Q(,) используется присущее такому пространству скалярное произведение.

Примеры вещественных и комплексных алгебр

...

Свойства

Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых $x, y \in E$ :

антикоммутатор $[x, y]_+ \ ( := x*y + y*x) = 2 \left\langle x,y\right\rangle$

где $\left\langle ,\right\rangle$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:

$\left\langle x,y\right\rangle := \frac{1}{2}\left( Q(x+y)-Q(x)-Q(y) \right)$

Матричные представления алгебр Клиффорда

Уравнение Дирака — важный пример применения представлений CL_3,1(ℝ), которые впервые изучены Этторе Майорана. ...

Ссылки

Lounesto, Pertti (2001), «Clifford algebras and spinors», Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-00551-7 (см.)
Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications»