Численное решение уравнений | это... Что такое Численное решение уравнений? (original) (raw)

Численное решение уравнений и их систем состоит в приближённом определении корня или корней уравнения или системы уравнений и применяется в случаях, когда точное значение вычислить невозможно или очень трудоёмко.

Содержание

Постановка задачи

Рассмотрим методы численного решения уравнений и систем уравнений:

f(x_1, x_2, \ldots, x_n)=0\!

или

\left\{ \begin{array}{lcr} f_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) & =& 0 \\ \ldots & & \\ f_n(x_1, x_2, \ldots, x_n) & =& 0 \end{array}\right.

Численное решение задачи можно проводить как непосредственно (используя одноимённые методы), так и с применением оптимизационных методов, приведя задачу к соответствующему виду. Последним посвящена статья Градиентные методы.

Численные методы решения уравнений

Покажем, как можно решить изначальную систему уравнений, не прибегая к оптимизационным методам. В случае, если наша система представляет собой СЛАУ, целесообразно прибегнуть к таким методам, как метод Гаусса или метод Ричардсона. Однако мы всё же будем исходить из предположения, что вид функции нам неизвестен и воспользуемся одним из итерационных методов численного решения. Среди большого разнообразия таковых выберем один из наиболее известных — метод Ньютона. Этот метод в свою очередь основывается на принципах метода простой итерации. Поэтому сначала будет изложена суть последнего.

Метод простой итерации

В основе метода заложено понятие сжимающего отображения. Определим терминологию:

Говорят, что функция \varphi\! осуществляет сжимающее отображение на [a,\; b]\!, если

  1. \forall x \in [ a, \; b ]: \varphi(x) \in [a,\; b ]\!
  2. \exist \alpha < 1: \forall x_1,x_2 \in [a,\; b ]\quad ||\varphi(x_1)-\varphi(x_2)||\leq \alpha ||x_1-x_2||\!

Тогда основная теорема будет выглядеть так:

Поясним смысл параметра \alpha\!. Согласно теореме Лагранжа имеем:

\varphi(x) \in C^1[a, \; b].\quad \forall x_1,x_2 \in (a, \; b),\quad x_1<x_2 \quad \exist \xi \in (x_1,\; x_2): \quad \varphi'(\xi)(x_2-x_1) = \varphi(x_2)-\varphi(x_1)\!

Отсюда следует, что \alpha \approx |\varphi'(\xi)|\!. Таким образом, для сходимости метода достаточно, чтобы \forall x \in [a,\; b]\quad |\varphi'(x)|\leq 1.\!

  1. x_3=\varphi(x_2)\!

.........

и так далее, пока ||x_{i+1}-x_i||>\varepsilon\!

Применительно к СЛАУ

Рассмотрим систему:

\left\{ \begin{array}{ccc} a_{11} x_1 + \ldots + a_{1n} x_n & = & b_1 \\ \ldots & & \\ a_{n1} x_1 + \ldots + a_{nn} x_n & = & b_n \end{array}\right.

Для неё итерационное вычисление будет выглядеть так:

\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right)^{i+1} = \left( \begin{array}{cccc} a_{11}+1 & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22}+1 & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn}+1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}\right)^{i}-\left(\begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_n \end{array}\right)

Сходимость метода будет осуществлять \left\|\begin{array}{ccc}a_{11}+1 & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \ldots & a_{nn}+1 \end{array} \right\|<1

Следует отметить, что для оценки сходимости вычисляется не определитель матрицы, а норма матрицы. Поэтому в данном случае поставлены двойные вертикальные черты, а не одинарные.

Решение уравнения cos(x)=x по методу простой итерации, очередная итерация: xn+1=cos xn, начальное приближение: x1 = -1

Алгоритм

  1. Условие f(x)=0\! преобразуется к виду x=\varphi(x)\!, где \varphi(x)\! — сжимающая
  2. Задаётся начальное приближение и точность x_0, \quad \varepsilon, \quad i=0\!
  3. Вычисляется очередная итерация x_{i+1}=\varphi(x_i)\!

Решение уравнения f(x)=0 по методу Ньютона, начальное приближение: x1=a.

Метод Ньютона (метод касательных)

Одномерный случай

Для того, чтобы решить уравнение f(x)=0\!, пользуясь методом простой итерации, необходимо привести его к виду x=\varphi(x)\!, где \varphi\! — сжимающее отображение. Чтобы отображение было наиболее эффективно, необходимо, чтобы в точке очередной итерации x^* выполнялось \varphi'(x^*)=0\!. Будем искать решение данного уравнения в виде \varphi(x)=x+\alpha(x) f(x)\!, тогда:

\varphi'(x^*)=1+\alpha'(x^*) f(x^*) + \alpha(x^*) f'(x^*)=0\!

Воспользуемся тем, что f(x)=0\!, и получим окончательную формулу для \alpha(x)\!:

\alpha(x)=-\frac{1}{f'(x)}\!

С учётом этого сжимающая функция примет вид:

\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}\!

Тогда алгоритм нахождения численного решения уравнения f(x)=0\! сводится к итерационной процедуре вычисления:

x_{i+1}=x_{i}-\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}\!

Многомерный случай

Обобщим полученный результат на многомерный случай.

Выбирая некоторое начальное приближение \vec{x}^{[0]}\!, находят последовательные приближения \vec{x}^{[j+1]}\! путем решения систем уравнений:

f_i + \sum_{k=1}^n\frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x^{[j+1]}_k - x_k^{[j]})=0,\quad i = 1, 2, \ldots, n\!,

где x^{[j]}=\left( x_1^{[j]} \ldots x_k^{[j]} \ldots x_n^{[j]} \right), \quad j = 0, 1, 2, \ldots\!.

Литература

  1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Мир, 1998.
  2. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы. — 8-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
  3. Волков Е. А. Численные методы. — М.: Физматлит, 2003.
  4. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики. — М.: Энергоатомиздат, 1972.
  5. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

См. также