Свёртка (математический анализ) | это... Что такое Свёртка (математический анализ)? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Свёртка.

Свёртка фу́нкций — операция в функциональном анализе, показывающая «схожесть» одной функции с отражённой и сдвинутой копией другой. Понятие свёртки обобщается для функций, определённых на группах, а также мер. В математике, свёртка — это математическая операция двух функций f и g, порождающая третью функцию, которая обычно может рассматриваться как модифицированная версия одной из первоначальных. По существу, это особый вид интегрального преобразования. Операция свёртки это зависимость интеграла по времени, произведения 1-го сигнала на 2-й, от сдвига по времени второго сигнала относительно первого. Результат свёртки показывает в каких местах один сигнал похож на другой, а в каких непохож. Например, произведя свёртку фрагмента изображения с целым изображением, получим максимум результата свёртки именно в том месте, откуда был взят фрагмент. Для свёртки берётся копия первого сигнала. К ней прикладывается копия второго сигнала с определённым сдвигом. Копии сигналов перемножаются. Берётся интеграл по времени от этого перемножения. Значение интеграла наносится на график напротив выбранного сдвига. Затем сдвиг меняется, сигналы опять перемножаются. Опять берётся интеграл от произведения сигналов и наносится на график. Так повторяем для всех значений сдвигов. Полученый график и будет свёрткой.

Свертка двух прямоугольных импульсов: в результате даёт треугольный импульс.

Свертка прямоугольного импульса (входного сигнала) с импульсным откликом RC цепи

Содержание

1 Свёртка функций
- 1.1 Свойства
2 Свёртка на группах
3 Свёртка мер
- 3.1 Свойства
- 3.2 Свёртка распределений
4 См. также
5 Литература
6 Ссылки

Свёртка функций

Пусть $f,g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ — две функции, интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве $\mathbb{R}^d$ . Тогда их свёрткой называется функция $f * g:\mathbb{R}^d \to \mathbb{R}$ , определенная формулой

В частности, при $\,d=1$ формула принимает вид:

Свёртка $\,(f * g)(x)$ определена при почти всех $x \in {\mathbf{R}^d}$ и интегрируема.

Свойства

Коммутативность:

$\, f * g = g * f$ .

Ассоциативность:

$\, f * (g * h) = (f * g) * h$ .

Линейность (дистрибутивность и умножение на число):

$\, (f_1+f_2) * g = f_1 * g + f_2 * g,\quad$

$\, f * (g_1+g_2) = f * g_1 + f * g_2,\quad$

$\, (a f) * g = a (f*g) = f * (ag), \quad \forall a \in \mathbb{R}$ .

Правило дифференцирования:

$\, \mathrm{D}(f * g) = \mathrm{D}f * g = f * \mathrm{D}g$ ,

где $\mathrm{D}f$ обозначает производную функции по любой переменной.

Свойство Фурье-образа:

$\, \mathfrak{F}[f * g] = \mathfrak{F} [f] \cdot \mathfrak{F} [g]$ ,

где $\mathfrak{F}[f]$ обозначает преобразование Фурье функции .

Свёртка на группах

Пусть — группа Ли, оснащённая мерой Хаара , и $f,g:G \to \mathbb{R}$ — две функции, определённые на . Тогда их свёрткой называется функция

$f * g(x) = \int\limits_G f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x \in G$ .

Свёртка мер

Пусть есть борелевское пространство $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ и две меры $\mu,\nu: \mathcal{B}(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ . Тогда их свёрткой называется мера

$\mu * \nu (A) = \mu \otimes \nu \left(\{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid x+y \in A \}\right),\quad \forall A \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ,

где $\mu \otimes \nu$ обозначает произведение мер $\mu$ и $\nu$ .

Свойства

$f_{\mu} = \frac{d\mu}{dm},\quad f_{\nu} = \frac{d\nu}{dm}$ .

Тогда $\mu * \nu$ также абсолютно непрерывна относительно , и её производная Радона — Никодима $f_{\mu * \nu} = \frac{d \mu * \nu}{dm}$ имеет вид

$f_{\mu * \nu} = f_{\mu} * f_{\nu}$ .

Свёртка распределений

Если $\mathbb{P}^X,\mathbb{P}^Y$ — распределения двух независимых случайных величин и , то

$\mathbb{P}^{X+Y} = \mathbb{P}^X * \mathbb{P}^Y$ ,

где $\mathbb{P}^{X+Y}$ — распределение суммы X+Y . В частности, если X,Y абсолютно непрерывны и имеют плотности f_X,f_Y , то случайная величина X+Y также абсолютно непрерывна и её плотность имеет вид:

$f_{X+Y} = f_X * f_Y$ .

См. также

Литература

Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, — М.: Наука, 2004 (7-е изд.).
Ширяев А. Н. Вероятность, — М.: Наука. 1989.

Ссылки

Java-Applet
Java-Applet
Линейная и циклическая свертка (рус.). Архивировано из первоисточника 26 августа 2011. Проверено 15 ноября 2010.

Методы сжатия
Теория	Информация Собственная · Взаимная · Энтропия · Условная энтропия · Сложность · Избыточность Единицы измерения Бит · Нат · Ниббл · Хартли · Формула Хартли
Без потерь	Энтропийное сжатие Алгоритм Хаффмана · Адаптивный алгоритм Хаффмана · Алгоритм Шеннона — Фано · Арифметическое кодирование (Интервальное) · Коды Голомба · Дельта · Универсальный код (Элиаса · Фибоначчи) Словарные методы RLE · Deflate · LZ (LZ77/LZ78 · LZSS · LZW · LZWL · LZO · LZMA · LZX · LZRW · LZJB · LZT) Прочее RLE · CTW · BWT · MTF · PPM · DMC
Аудио	Теория Свёртка · PCM · Алиасинг · Дискретизация · Теорема Котельникова Методы LPC (LAR · LSP) · WLPC · CELP · ACELP · A-закон · μ-закон · MDCT · Преобразование Фурье · Психоакустическая модель Прочее Компрессор аудиосигнала · Сжатие речи · Полосное кодирование
Изображения	Термины Цветовое пространство · Пиксель · Субдискретизация насыщенности · Артефакты сжатия Методы RLE · DPCM · Фрактальный · Вейвлетный · EZW · SPIHT · LP · ДКП · ПКЛ Прочее Битрейт · Test images · PSNR · Квантование
Видео	Термины Характеристики видео · Кадр · Типы кадров · Качество видео Методы Компенсация движения · ДКП · Квантование · Вейвлетный Прочее Видеокодек · Rate distortion theory (CBR · ABR · VBR)