Додекаэдр | это... Что такое Додекаэдр? (original) (raw)

Додекаэдр

Тип	Правильный многогранник
Грань	Правильный пятиугольник
Граней	12
Рёбер	30
Вершин	20
Граней при вершине	3
Длина ребра	$a\,\!$
Площадь поверхности	$3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}$
Объём	$\frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5})$
Радиус описанной сферы	$\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}$
Радиус вписанной сферы	$\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}$
Группа симметрии	Икосаэдрическая (I h)
Двойственный многогранник	икосаэдр

Додека́эдр (от греч. δώδεκα — двенадцать и εδρον — грань) — двенадцатигранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.

Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра). Сумма плоских углов при каждой из 20 вершин равна 324°.

Додекаэдр имеет три звёздчатые формы.

Основные формулы

Если за длину ребра принять , то площадь поверхности додекаэдра:

$S=3a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{5})}$

Объём додекаэдра:

$V=\frac{a^3}{4}(15+7\sqrt{5})\approx 7.66a^3$

Радиус описанной сферы:

$R=\frac{a}{4}(1+\sqrt{5})\sqrt{3}\approx 1.4a$

Радиус вписанной сферы:

$r=\frac{a}{4}\sqrt{10+\frac{22}{\sqrt{5}}}\approx 1.11a$

Свойства

В додекаэдр можно вписать куб так, что стороны куба будут диагоналями додекаэдра.

Элементы симметрии додекаэдра

Додекаэдр имеет центр симметрии и 15 осей симметрии.

Каждая из осей проходит через середины противолежащих параллельных ребер.

Додекаэдр имеет 15 плоскостей симметрии. Любая из плоскостей симметрии проходит в каждой грани через вершину и середину противоположного ребра.

Тела в форме додекаэдра

Додекаэдр применяется как генератор случайных чисел (вместе с другими костями) в настольных ролевых играх, и обозначается при этом d12 (dice — кости).
В игре Пентакор мир представлен в виде этой геометрической фигуры.

Интересные факты

Платон сопоставлял с правильными многогранниками различные классические стихии. О додекаэдре Платон писал, что «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца»[1].
В 2003 году, при анализе данных космического аппарата WMAP, была выдвинута гипотеза, что Вселенная представляет собой додекаэдрическое пространство Пуанкаре [2][3][4].

Примечания

↑ Платон. «Тимей»
↑ The optimal phase of the generalised Poincare dodecahedral space hypothesis implied by the spatial cross-correlation function of the WMAP sky maps (англ.).
↑ Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background (англ.).
↑ Jeffrey Weeks The Poincare Dodecahedral Space and the Mystery of the Missing Fluctuations (англ.). Архивировано из первоисточника 4 ноября 2012.

См. также

Пентагондодекаэдр — неправильный додекаэдр
Римский додекаэдр
Мегаминкс
Ромбододекаэдр
Ромбоикосододекаэдр
Двенадцатигранники

Многогранники
Правильные (Платоновы тела)	Трёхмерные Правильный тетраэдр • Куб • Октаэдр • Додекаэдр • Икосаэдр Четырёхмерные 6 правильных многогранников Большей размерности N-мерный куб • N-мерный октаэдр • N-мерный тетраэдр
Звёздчатый додекаэдр • Звёздчатый икосододекаэдр • Звёздчатый икосаэдр • Звёздчатый многогранник • Звёздчатый октаэдр
Выпуклые	Архимедовы тела Кубооктаэдр • Икосододекаэдр • Усечённый тетраэдр • Усечённый октаэдр • Усечённый икосаэдр • Усечённый куб • Усечённый додекаэдр • Ромбокубоктаэдр • Ромбоикосододекаэдр • Ромбоусечённый кубоктаэдр • Ромбоусечённый икосододекаэдр • Курносый куб • Курносый додекаэдр • Усечённый кубооктаэдр • Усечённый икосододекаэдр • Правильная призма • Антипризма Каталановы тела Ромбододекаэдр • Ромботриаконтаэдр • Триакистетраэдр • Тетракисгексаэдр • Пентакисдодекаэдр • Триакисоктаэдр • Триакисикосаэдр • Дельтоидальный икоситетраэдр • Дельтоидальный гексеконтаэдр •Пентагональный икоситетраэдр • Пентагональный гексеконтаэдр • Дисдакисдодекаэдр • Дисдакистриаконтаэдр Без полной пространственной симметрии Пирамида • Призма • Бипирамида • Антипризма • Зоноэдр • Параллелепипед • Ромбоэдр •Призматоид• Усечённая пирамида• Пентагондодекаэдр • Параллелоэдр
Формулы, теоремы, теории	Теорема Александрова о выпуклых многогранниках • Теорема Бликера • Теорема Коши о многогранниках • Теорема Линделёфа о многограннике • Теорема Минковского о многогранниках • Теорема Сабитова • Теорема Эйлера для многогранников • Теория перекатывания многогранников • Формула Шлефли
Прочее	Ортоцентрический тетраэдр • Равногранный тетраэдр • Прямоугольный параллелепипед • Группа многогранника • Двенадцатигранники • Телесный угол • Единичный куб • Изгибаемый многогранник • Развёртка • Символ Шлефли • Многомерные (N-мерный тетраэдр • Тессеракт • Пентеракт • Хексеракт • Хептеракт • Октеракт • Энтенеракт • Декеракт • Гиперкуб)

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники.Эта отметка установлена 13 мая 2011.