Пирамида (геометрия) | это... Что такое Пирамида (геометрия)? (original) (raw)
У этого термина существуют и другие значения, см. Пирамидацу (значения).
 |
Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе.На странице обcуждения могут быть пояснения. |
|---|
|
Возможно, этот раздел содержит оригинальное исследование. Добавьте ссылки на источники, в противном случае он может быть удалён.Дополнительные сведения могут быть на странице обсуждения. |
|---|
Виды пирамид.
Элементы пирамиды.
Пирами́да (др.-греч. πυραμίς, род. п. πυραμίδος) — многогранник, основание которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину[1]. По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса[_уточнить_][источник не указан 64 дня]
Содержание
- 1 История развития геометрии пирамиды
- 2 Элементы пирамиды
- 3 Углы пирамиды
- 4 Развёртка пирамиды
- 5 Свойства пирамиды
- 6 Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами
- 7 Формулы, связанные с пирамидой
- 8 Особые случаи пирамиды
- 9 Связанные определения
- 10 Интересные факты
- 11 Примечания
- 12 Литература
- 13 См. также
- 14 Ссылки
История развития геометрии пирамиды
Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Первый, кто установил, чему равен объем пирамиды, был Демокрит [2], а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.
Элементы пирамиды
- апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины [3];
- боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине пирамиды;
- боковые ребра — общие стороны боковых граней;
- вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
- высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
- диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
- основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Углы пирамиды
Развёртка пирамиды
Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой.
Свойства пирамиды
Если все боковые ребра равны, то:
- около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы.
- также верно и обратное, то есть если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы или если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то:
- в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр;
- высоты боковых граней равны;
- площадь боковой поверхности равна половине произведения периметра основания на высоту боковой грани.
Теоремы, связывающие пирамиду с другими геометрическими телами
Сфера
- около пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие).[4] Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих через середины рёбер пирамиды перпендикулярно им. Из этой теоремы следует, что как около любой треугольной, так и около любой правильной пирамиды можно описать сферу;
- в пирамиду можно вписать сферу тогда, когда биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Конус
- Конус называется вписанным в пирамиду, если вершины их совпадают, а его основание вписано в основание пирамиды. Причём вписать конус в пирамиду можно только тогда, когда апофемы пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);[5]
- Конус называется описанным около пирамиды, когда их вершины совпадают, а его основание описано около основания пирамиды. Причём описать конус около пирамиды можно только тогда, когда все боковые ребра пирамиды равны между собой (необходимое и достаточное условие);
- Высоты у таких конусов и пирамид равны между собой.
Цилиндр
- Цилиндр называется вписанным в пирамиду, если одно его основание совпадает с окружностью вписанной в сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, а другое основание принадлежит основанию пирамиды.
- Цилиндр называется описанным около пирамиды, если вершина пирамиды принадлежит его одному основанию, а другое его основание описано около основания цилиндра. Причём описать цилиндр около пирамиды можно только тогда, когда в основании пирамиды — вписанный многоугольник (необходимое и достаточное условие).
Формулы, связанные с пирамидой
- Объём пирамиды может быть вычислен по формуле:
где 
— площадь основания и 
— высота;
- Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
- Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
- Для нахождения боковой поверхности в правильной пирамиде можно использовать формулы:
где 
— апофема , 
— периметр основания, 
— число сторон основания, 
— боковое ребро, 
— плоский угол при вершине пирамиды.
Особые случаи пирамиды
Правильная пирамида
Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:
- площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.
Прямоугольная пирамида
Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.
Усечённая пирамида
Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.
Связанные определения
Тетраэдром называется треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды. Кроме того, существует большое различие в понятиях правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр.
Интересные факты
- Формула для расчёта объёма усечённой пирамиды была выведена раньше, чем для полной.
Примечания
- ↑ Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений Изд. 2-е. — Просвещение, 2003 г.. — ISBN 5-09-010773-4
- ↑ Б. Л. ван дер Варден Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. — КомКнига, 2007 г.. — ISBN 978-5-484-00848-3
- ↑ Апофема, БСЭ
- ↑ С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов Изучение геометрии в 10-11-х классах.
- ↑ А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — Просвещение, 2008 г.. — ISBN 978-5-09-019708-3
- ↑ «Свойства правильной пирамиды, вписанной в сферу» Э. Готман. — научный журнал «Квант», 1998 г., 4 выпуск
Литература
- Александров А.Д. Вернер А.Л. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — 2-е. — Просвещение, 2003. — 271 с. — ISBN 5-09-010773-4
- А. Ю. Калинин, Д. А. Терешин Стереометрия. 11 класс. — Физматкнига, 2005. — ISBN 5-89155-134-9
- А. В. Погорелов Геометрия: Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. — Просвещение, 2008. — ISBN 978-5-09-019708-3
См. также
Ссылки
- Бумажные модели пирамид (англ.).
- «Начала» Евклида
