Algebraic independence (original) (raw)
Algebraická nezávislost je pojem z oboru abstraktní algebry. Podmnožina tělesa je algebraicky nezávislá nad podtělesem , pokud prvky nesplňují žádnou netriviální polynomiální rovnost s koeficienty z tělesa , tedy pokud pro žádný konečný výběr po dvou různých prvků neexistuje polynom takový, že by platilo . V případě jednoprvkové množiny odpovídá nezávislost transcendenci a obecně platí, že prvkem algebraicky nezávislé množiny může být pouze transcendentní prvek.
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| dbo:abstract | Algebraická nezávislost je pojem z oboru abstraktní algebry. Podmnožina tělesa je algebraicky nezávislá nad podtělesem , pokud prvky nesplňují žádnou netriviální polynomiální rovnost s koeficienty z tělesa , tedy pokud pro žádný konečný výběr po dvou různých prvků neexistuje polynom takový, že by platilo . V případě jednoprvkové množiny odpovídá nezávislost transcendenci a obecně platí, že prvkem algebraicky nezávislé množiny může být pouze transcendentní prvek. (cs) In der abstrakten Algebra ist die algebraische Unabhängigkeit eine Eigenschaft von Elementen einer transzendenten Körpererweiterung, welche besagt, dass diese Elemente keine nichttriviale Polynomgleichung mit Koeffizienten im Grundkörper erfüllen. (de) في الجبر التجريدي، مجموعة جزئية S من حقل L, تكون مستقلة جبريا على حقل جزئي K, إذا كانت عناصر S لا تلبي أية معادلة لمتعددة حدود , معاملاتها توجد في K. على سبيل المثال، المجموعة الجزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية R, ليست مستقلة جبريا على مجموعة الأعداد الجذرية Q . (ar) In abstract algebra, a subset of a field is algebraically independent over a subfield if the elements of do not satisfy any non-trivial polynomial equation with coefficients in . In particular, a one element set is algebraically independent over if and only if is transcendental over . In general, all the elements of an algebraically independent set over are by necessity transcendental over , and over all of the field extensions over generated by the remaining elements of . (en) En el álgebra abstracta, un subconjunto S de un campo L es algebraicamente independiente sobre un subcuerpo K si los elementos de S no satisfacen ninguna ecuación polinómica no-trivial con coeficientes en K. Esto significa que para toda secuencia finita α1, ..., αn de elementos de S, no siendo dos idénticas, y todo polinomio distinto de cero P(x1, ..., xn) con coeficientes en K, tenemos P(α1,...,αn) ≠ 0. En particular, un conjunto de un elemento {α} es algebraicamente independiente sobre K si y sólo si α es transcendente sobre K.En general, todos los elementos de un conjunto algebraicamente independiente sobre K son necesariamente trascendentes sobre K, pero eso está lejos de ser una condición suficiente. Por ejemplo, el subconjunto {√π, 2π+1} de los reales R no es algebraicamente independiente sobre los racionales Q, dado que el polinomio distinto de cero resulta cero cuando √π es sustituido por x1 y 2π+1 es sustituido por x2. El teorema de Lindemann-Weierstrass puede frecuentemente ser usado para probar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes sobre . Enuncia que cuando α1,...,αn son números algebraicos que sean linealmente independientes sobre Q, entonces eα1,...,eαn son algebraicamente independientes sobre Q. No se conoce si el conjunto {π, e} es algebraicamente independiente sobre Q. probó en 1996 que {π, eπ, Γ(1/4)} es algebraicamente independiente sobre Q. Dada una Extensión de cuerpo L/K, podemos usar el lema de Zorn para mostrar que siempre existe un máximo subconjunto algebraicamente independiente de L sobre K. Más aún, todos los máximos subconjuntos algebraicamente independientes tienen la misma cardinalidad, conocida como de la extensión. * Datos: Q1495342 (es) En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble de nombres, sur un corps commutatif, décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans ce corps. (fr) Di dalam aljabar abstrak, suatu himpunan bagian S dari suatu medan L dikatakan bebas aljabar pada suatu medan bagian K jika unsur-unsur S tidak memenuhi sembarang persamaan polinom tak-trivial yang berkoefisien di lingkup K. Secara khusus, suatu himpunan berunsur satu {α} dikatakan bebas aljabar pada K jika dan hanya jika α transenden pada K. Secara umum, suatu unsur dari suatu himpunan bebas aljabar S pada K dikatakan transenden (berdasarkan syarat perlu) pada K, dan pada semua pada K yang dibangkitkan oleh unsur-unsur S lainnya. (in) In algebra astratta, un sottoinsieme di un campo si dice algebricamente indipendente su un sottocampo se gli elementi di non soddisfano nessuna equazione polinomiale non banale a coefficienti in . Questo significa che per ogni sequenza finita di elementi distinti di e per ogni espressione polinomiale a coefficienti in , si ha:. In particolare, un unico elemento è algebricamente indipendente su se e solo se è trascendente in . In generale, tutti gli elementi di un insieme algebricamente indipendente su sono necessariamente trascendenti su stesso anche se questa non è affatto condizione sufficiente. Per esempio: il sottoinsieme dei numeri reali non è algebricamente indipendente sull'insieme dei razionali dal momento che l'espressione polinomiale vale zero se si scelgono e . Non è noto se l'insieme {π, e} sia algebricamente indipendente su . Nel 1996 Yu Nesterenko ha dimostrato l'indipendenza algebrica di su . Data un'estensione di campi , si può utilizzare il lemma di Zorn per dimostrare che esiste sempre un sottosinsieme massimale di algebricamente indipendente su . Inoltre tutti i sottoinsiemi algebricamente indipendenti massimali hanno la stessa cardinalità nota come grado di trascendenza dell'estensione. (it) In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, noemt men de elementen van een lichaamsuitbreiding van een lichaam/veld algebraïsch afhankelijk over , als zij voldoen aan een niet-triviale polynoom met coëfficiënten in . Is zo'n polynoom er niet dan heten de elementen algebraïsch onafhankelijk over . (nl) 대수적 수론에서 대수적 독립 집합(代數的獨立集合, 영어: algebraically independent set)은 어떤 부분체 계수의 자명하지 않은 다항식을 만족시키지 않는, 체의 부분 집합이다. (ko) Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей. Пусть некоторое расширение поля . Элементы называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена с коэффициентами из поля . В другом случае элементы называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда — кольцо и — его подкольцо. (ru) Em álgebra abstrata, um subconjunto S de um corpo L é algebricamente independente sobre um subcorpo K se os elementos de S não satisfazem nenhuma equação polinômica não- com coeficientes em K. Isto significa que para toda série finita α1, ..., αn de elementos de S, não sendo dois idênticas, e todo polinômio distinto de zero P(x1, ..., xn) com coeficientes em K, temos P(α1,...,αn) ≠ 0. Em particular, um conjunto de um elemento {α} é algebricamente independente sobre K se e somente se α é sobre K. Em geral, todos os elementos de um conjunto algebricamente independente sobre K são necessariamente transcendentes sobre K, mas isso está longe de ser uma condição suficiente. Por exemplo, o subconjunto {√π, 2π+1} dos reais R não é algebricamente independente sobre os racionais Q, dado que o polinômio distinto de zero resulta zero quando √π é substituido por x1 e 2π+1 é substituido por x2. O pode frequentemente ser usado para provar que alguns conjuntos são algebricamente independentes sobre . Afirma que quando α1,...,αn são números algébricos que sejam linearmente independentes sobre Q, então eα1,...,eαn são algebricamente independentes sobre Q. Não se conhece se o conjunto {π, e} é algebricamente independente sobre Q. Nesterenko provou em 1996 que {π, eπ, Γ(1/4)} é algebricamente independente sobre Q. Dada uma Extensão de corpo L/K, podemos usar o lema de Zorn para mostrar que sempre existe um máximo subconjunto algebricamente independente de L sobre K. Mais ainda, todos os máximos subconjuntos algebricamente independentes tem a mesma cardinalidade, conhecida como grau de transcendência da extensão. (pt) 在抽象代數裡，一個體的子集若被稱做代數獨立於一子體的話，表示內的元素都不符合係數包含在內的非平凡多項式。這表示任何以內元素排成的有限序列（沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在的非零多項式，都會得到： 特別的是，單元素集合若是代數獨立於的話，若且唯若會是內的超越數或超越函數。一般而言，和於代數獨立集合的所有元素也必然會是內的超越數或超越函數，但反之則不必然。 舉例來說，實數的子集並不代數獨立於有理數，當存在一非零多項式： 代入和代入時會變成。 林德曼-魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當為線性獨立於有理數的代數數時，便會代數獨立於有理數。 現在依然沒有證明出集合是否代數獨立於有理數。在1996年證明了是代數獨立於有理數的。 給定一體擴張，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一的最大代數獨立子集於。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。 (zh) Алгебраїчна незалежність — поняття теорії розширень полів. Нехай - деяке розширення поля . Елементи називаються алгебраїчно незалежними, якщо для довільного не тотожно рівного нулю многочлена з коефіцієнтами з поля . У іншому випадку елементи називаються алгебраїчно залежними. Нескінченна множина елементів називається алгебраїчно незалежною, якщо незалежною є кожна її скінченна підмножина, і залежною в іншому випадку. Визначення алгебраїчної незалежності можливо поширити на випадок, коли — кільце і — його підкільце. (uk) |
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| dbp:author | Chen, Johnny (en) |
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(de) في الجبر التجريدي، مجموعة جزئية S من حقل L, تكون مستقلة جبريا على حقل جزئي K, إذا كانت عناصر S لا تلبي أية معادلة لمتعددة حدود , معاملاتها توجد في K. على سبيل المثال، المجموعة الجزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية R, ليست مستقلة جبريا على مجموعة الأعداد الجذرية Q . (ar) In abstract algebra, a subset of a field is algebraically independent over a subfield if the elements of do not satisfy any non-trivial polynomial equation with coefficients in . In particular, a one element set is algebraically independent over if and only if is transcendental over . In general, all the elements of an algebraically independent set over are by necessity transcendental over , and over all of the field extensions over generated by the remaining elements of . (en) En algèbre, l'indépendance algébrique d'un ensemble de nombres, sur un corps commutatif, décrit le fait que ses éléments ne sont pas racines d'un polynôme en plusieurs indéterminées à coefficients dans ce corps. (fr) Di dalam aljabar abstrak, suatu himpunan bagian S dari suatu medan L dikatakan bebas aljabar pada suatu medan bagian K jika unsur-unsur S tidak memenuhi sembarang persamaan polinom tak-trivial yang berkoefisien di lingkup K. Secara khusus, suatu himpunan berunsur satu {α} dikatakan bebas aljabar pada K jika dan hanya jika α transenden pada K. Secara umum, suatu unsur dari suatu himpunan bebas aljabar S pada K dikatakan transenden (berdasarkan syarat perlu) pada K, dan pada semua pada K yang dibangkitkan oleh unsur-unsur S lainnya. (in) In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, noemt men de elementen van een lichaamsuitbreiding van een lichaam/veld algebraïsch afhankelijk over , als zij voldoen aan een niet-triviale polynoom met coëfficiënten in . Is zo'n polynoom er niet dan heten de elementen algebraïsch onafhankelijk over . (nl) 대수적 수론에서 대수적 독립 집합(代數的獨立集合, 영어: algebraically independent set)은 어떤 부분체 계수의 자명하지 않은 다항식을 만족시키지 않는, 체의 부분 집합이다. (ko) Алгебраическая независимость — понятие теории расширений полей. Пусть некоторое расширение поля . Элементы называются алгебраически независимыми, если для произвольного не равного тождественно нулю многочлена с коэффициентами из поля . В другом случае элементы называются алгебраически зависимыми. Бесконечное множество элементов называется алгебраически независимым, если независимым является каждое его конечное подмножество, и называется зависимым в противном случае. Определение алгебраической независимости можно распространить на случай, когда — кольцо и — его подкольцо. (ru) 在抽象代數裡，一個體的子集若被稱做代數獨立於一子體的話，表示內的元素都不符合係數包含在內的非平凡多項式。這表示任何以內元素排成的有限序列（沒有兩個是一樣的）和任一係數包含在的非零多項式，都會得到： 特別的是，單元素集合若是代數獨立於的話，若且唯若會是內的超越數或超越函數。一般而言，和於代數獨立集合的所有元素也必然會是內的超越數或超越函數，但反之則不必然。 舉例來說，實數的子集並不代數獨立於有理數，當存在一非零多項式： 代入和代入時會變成。 林德曼-魏爾斯特拉斯定理時常用做證明某些函數會代數獨立於有理數：當為線性獨立於有理數的代數數時，便會代數獨立於有理數。 現在依然沒有證明出集合是否代數獨立於有理數。在1996年證明了是代數獨立於有理數的。 給定一體擴張，我們可以利用佐恩引理來證明總是存在一的最大代數獨立子集於。甚至，所有個最大代數獨立子集都會有相同的基數，稱之為此一體擴張的超越次數。 (zh) Алгебраїчна незалежність — поняття теорії розширень полів. Нехай - деяке розширення поля . Елементи називаються алгебраїчно незалежними, якщо для довільного не тотожно рівного нулю многочлена з коефіцієнтами з поля . У іншому випадку елементи називаються алгебраїчно залежними. Нескінченна множина елементів називається алгебраїчно незалежною, якщо незалежною є кожна її скінченна підмножина, і залежною в іншому випадку. Визначення алгебраїчної незалежності можливо поширити на випадок, коли — кільце і — його підкільце. (uk) En el álgebra abstracta, un subconjunto S de un campo L es algebraicamente independiente sobre un subcuerpo K si los elementos de S no satisfacen ninguna ecuación polinómica no-trivial con coeficientes en K. Esto significa que para toda secuencia finita α1, ..., αn de elementos de S, no siendo dos idénticas, y todo polinomio distinto de cero P(x1, ..., xn) con coeficientes en K, tenemos P(α1,...,αn) ≠ 0. Por ejemplo, el subconjunto {√π, 2π+1} de los reales R no es algebraicamente independiente sobre los racionales Q, dado que el polinomio distinto de cero * Datos: Q1495342 (es) In algebra astratta, un sottoinsieme di un campo si dice algebricamente indipendente su un sottocampo se gli elementi di non soddisfano nessuna equazione polinomiale non banale a coefficienti in . Questo significa che per ogni sequenza finita di elementi distinti di e per ogni espressione polinomiale a coefficienti in , si ha:. Per esempio: il sottoinsieme dei numeri reali non è algebricamente indipendente sull'insieme dei razionali dal momento che l'espressione polinomiale vale zero se si scelgono e . Non è noto se l'insieme {π, e} sia algebricamente indipendente su . (it) Em álgebra abstrata, um subconjunto S de um corpo L é algebricamente independente sobre um subcorpo K se os elementos de S não satisfazem nenhuma equação polinômica não- com coeficientes em K. Isto significa que para toda série finita α1, ..., αn de elementos de S, não sendo dois idênticas, e todo polinômio distinto de zero P(x1, ..., xn) com coeficientes em K, temos P(α1,...,αn) ≠ 0. Em particular, um conjunto de um elemento {α} é algebricamente independente sobre K se e somente se α é sobre K. resulta zero quando √π é substituido por x1 e 2π+1 é substituido por x2. (pt) |
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