Gamma function (original) (raw)
Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, především pro popis některých rozdělení ve statistice. Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako integrálu: Ačkoliv integrál samotný jen je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní (a tedy i reálné) číslo, kromě nuly a celých záporných čísel (−1, −2, …).
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| dbo:abstract | Gama funkce (někdy také označovaná jako Eulerův integrál druhého druhu) je zobecněním faktoriálu pro obor komplexních čísel. Používá se v mnoha oblastech matematiky, především pro popis některých rozdělení ve statistice. Funkce je značena pomocí řeckého písmene gama a je definována jako integrálu: Ačkoliv integrál samotný jen je-li reálná část z kladná, gama funkce je definována pro libovolné komplexní (a tedy i reálné) číslo, kromě nuly a celých záporných čísel (−1, −2, …). (cs) في الرياضيات، دالة غاما (بالإنجليزية: Gamma function) (والممثلة عموما بالحرف Γ، الحرف اليوناني الكبير غاما) هي امتداد لدالة المضروب في الأعداد الحقيقية والمركبة. إذن، دالة غاما هي دالة تحقق ما يلي بالنسبة عدد صحيح موجب n: دالة غاما هي دالة معرفة عند جميع الأعداد المركبة باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة. فللعدد z الذي يتكون من جزء حقيقي موجب تعرف دالة غاما كما يلي: حيث . دانييل برنولي هو من اكتشف هذه الصيغة. ويمكن أن يمتد هذا التعريف بالامتداد التحليلي إلى دالة جزئية الشكل تصير دالة تامة الشكل على المستوى العقدي كله باستثناء الصفر والأعداد الصحيحة السلبية حيث للدالة أقطاب بسيطة. انظر إلى تحويل ميلين. هناك دوال أخرى تمدد دالة العاملي، ولكن دالة غاما هي الأكثر شيوعا ونفعا. تظهر في العديد من دوال التوزيعات الاحتمالية، مما يجعلها مهمة في مجالات الاحتمال والإحصاء كما في مجال التوافقيات. (ar) En matemàtiques, la funció gamma (també coneguda com a funció gamma completa, per distingir-la de la funció gamma incompleta) és una extensió de la funció factorial, amb el seu argument menys 1, als nombres reals i complexos. Es denota com , representada per la lletra majúscula grega Γ. És a dir, si n és un enter positiu: . La funció gamma està definida per a tots els nombres complexos, excepte els nombres enters no positius. Per als nombres complexos amb una part real positiva, es defineix per una integral impròpia convergent: . Aquesta funció integral s'estén per continuació analítica a tots els nombres complexos, excepte els nombres enters no positius (on la funció té pols simples), obtenint la funció meromorfa que anomenem funció gamma. La funció gamma no té zero, de manera que la funció gamma inversa és una funció entera. De fet, la funció gamma es correspon amb la transformada de Mellin de la funció exponencial negativa: . La funció gamma és un component en diverses funcions de probabilitat de distribució, i com a tal, és aplicable en els camps de la probabilitat i de l'estadística, així com la combinatòria. (ca) Η συνάρτηση γάμμα ορίζεται στο πεδίο σύμφωνα με: Η συνάρτηση γάμμα ικανοποιεί την συναρτηρησιακή σχέση: Από τη σχέση αυτή και από προκύπτει .Για το λόγο αυτό η συνάρτηση γάμμα θεωρείται επέκταση του παραγοντικού. Εφαρμόζοντας την συναρτηρησιακή σχέση φορές προκύπτει: Το δεξί μέρος της εξίσωσης ορίζει μία μερομορφική συνάρτηση στο με πόλους πρώτου βαθμού στα .Σύμφωνα με αυτή τη σχέση η συνάρτηση γάμμα σε μία μερομορφική συνάρτηση σε όλο το με πόλους πρώτου βαθμού στα . Μια ιδιότητα της συνάρτησης Γάμμα,χρήσιμη σε διάφορες εφαρμογές των Μαθηματικών,της Φυσικής και άλλων επιστημών είναι η εξής: Επίσης: ο μετασχηματισμός Laplace,με a και p θετικούς αριθμούς (el) En matematiko, Γ-funkcio aŭ gamo-funkcio estas funkcio kies argumento kaj valoro estas reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Por kompleksa nombro z kun pozitiva reela parto ĝi estas difinita kiel kiu povas esti etendita al la tuta kompleksa ebeno escepte de la nepozitivaj entjeroj (0, −1, −2, −3, …). Γ funkcio estas vastigaĵo de la faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, …), tiam Γ(n+1) = n! Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, …), tiam Γ(n) = (n−1)! Γ funkcio estas skribata per greka majuskla litero gamo. La skribmaniero Γ(z) estas de Adrien-Marie Legendre. La Gama funkcio estas komponanto en diversaj probablo-distribuaj funkcioj, kaj kiel tia ĝi estas uzata en probabloteorio, statistiko kaj kombinatoriko. (eo) Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein , den griechischen Großbuchstaben Gamma, bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft für jede natürliche Zahl , wobei mit die Fakultät bezeichnet wird. Die Motivation zur Definition der Gammafunktion war, die Fakultätsfunktion auf reelle und komplexe Argumente erweitern zu können. Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler löste im Jahr 1729 diese Fragestellung und definierte die Gammafunktion mittels eines unendlichen Produktes. Heute wird die Gammafunktion oft mittels einer Integraldarstellung definiert, die ebenfalls auf Euler zurückgeht. Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde. (de) In mathematics, the gamma function (represented by Γ, the capital letter gamma from the Greek alphabet) is one commonly used extension of the factorial function to complex numbers. The gamma function is defined for all complex numbers except the non-positive integers. For every positive integer n, Derived by Daniel Bernoulli, for complex numbers with a positive real part, the gamma function is defined via a convergent improper integral: The gamma function then is defined as the analytic continuation of this integral function to a meromorphic function that is holomorphic in the whole complex plane except zero and the negative integers, where the function has simple poles. The gamma function has no zeroes, so the reciprocal gamma function 1/Γ(z) is an entire function. In fact, the gamma function corresponds to the Mellin transform of the negative exponential function: Other extensions of the factorial function do exist, but the gamma function is the most popular and useful. It is a component in various probability-distribution functions, and as such it is applicable in the fields of probability and statistics, as well as combinatorics. (en) En matemáticas, la función gamma (denotada como , donde es la letra griega gamma en mayúscula), es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos. La notación fue propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo es positiva, entonces la integral converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero. Si entonces lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función gamma extiende el concepto de factorial a cualquier valor complejo de . La función gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria. (es) Matematikan, gamma funtzioa faktorial kontzeptua zenbaki erreal eta konplexuetara zabaltzen duen aplikazioa da. Greziako gamma letra maiuskularen sinboloarekin adierazten da: . Notazioa Adrien-Marie Legendre-k proposatu zuen. Zenbaki konplexuaren zati erreala positiboa bada, integralak guztiz bat egiten du; integral hori plano konplexu osora zabal daiteke, negatibo eta zero diren osoetan izan ezik. Orduan funtzio horrek faktorearekin duen erlazioa erakusten digu. Hain zuzen, gamma funtzioak faktorialaren kontzeptu -ren edozein balio konplexutara hedatzen du. Gamma funtzioa probabilitate-banaketaren zenbait funtziotan agertzen da, eta, beraz, nahiko erabilia da bai probabilitatean, bai estatistikan, bai konbinatorian. (eu) En mathématiques, la fonction gamma (notée par la lettre grecque Γ) est une fonction complexe, considérée également comme une fonction spéciale. Elle prolonge la fonction factorielle à l'ensemble des nombres complexes (à l'exception des entiers négatifs) : on a pour tout entier n > 0 : Γ(n) = (n–1)! = 1×2×...×(n–1). (fr) Di dalam matematika, fungsi gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ) merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial, dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks. Yaitu, jika n adalah bilangan bulat , maka: Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, fungsi gamma terdefinisi melalui sebuah integral takwajar yang konvergen: Fungsi integral ini diperluas oleh terhadap semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat tak-positif (di mana fungsi ini memiliki kutub-kutub yang sederhana), menghasilkan yang kita sebut fungsi gamma. Fungsi gamma adalah sebuah komponen di dalam berbagai fungsi distribusi peluang, dan dengan demikian fungsi gamma dapat diterapkan pada cabang peluang dan statistika, serta kombinatorika. (in) 수학에서 감마 함수(Γ函數, 영어: gamma function)는 계승 함수의 해석적 연속이다. 감마 함수의 기호는 감마(Γ)라는 그리스 대문자를 사용한다. 양의 정수 n에 대하여 이 성립한다. (ko) In de wiskunde is de gammafunctie, weergegeven door de Griekse hoofdletter , een speciale functie die een analytische voortzetting vormt van de faculteit naar de reële en complexe getallen. De notatie is door Legendre ingevoerd. (nl) ガンマ関数（ガンマかんすう、英: gamma function）とは、数学において階乗の概念を複素数全体に拡張した（複素階乗ともいう）特殊関数である。ガンマ関数は複素数zに対して、関数で表す。 また、自然数n に対して、ガンマ関数とnの階乗との間では次の関係式が成り立つ： 互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者レオンハルト・オイラーが無限乗積の形で、最初に導入した。 (ja) In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo si ha: , dove denota il fattoriale di cioè il prodotto dei numeri interi da a : . (it) Em matemática, a função gama (representada pela letra maiúscula grega ) é uma extensão da função factorial para o conjunto dos números reais e complexos, com o argumento subtraído em 1. Se n é um inteiro positivo define-se da seguinte forma: ou Esta função é estendida por uma continuação analítica (ou extensão analítica) para todos números complexos com, não estando definida apenas nos inteiros não-positivos (em que a função tem polos simples). Portanto, para números complexos com a parte real positiva a definição segue por uma integral imprópria convergente: Podemos encontrar a demonstração da convergência desta integral no artigo de Emil Artin, The Gamma Function. A função gama é debutante em diversas funções de distribuição probabilísticas, sendo assim encontra aplicações nos campos da probabilidade, estatística e combinatória. (pt) Gammafunktionen är en matematisk funktion som generaliserar fakulteten n!, det vill säga heltalsprodukten 1 · 2 · 3 · ... · n, till de reella talen och även de komplexa. Den definierades 1729 av Leonhard Euler och betecknas . Gammafunktionen används inom många områden av matematiken, bland annat för lösningar till integraler och räknas som en av de viktigaste speciella funktionerna. (sv) Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera): jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części, można pokazać, że: Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n. Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest: Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego): Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych. Jest nieciągła w każdym punkcie całkowitym niedodatnim, przyjmując w tych punktach za granice lewostronne i prawostronne przeciwne nieskończoności. (pl) Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру. Гамма-функция чрезвычайно широко применяется в науке. Среди основных областей её применения — математический анализ, теория вероятностей, комбинаторика, статистика, атомная физика, астрофизика, гидродинамика, сейсмология и экономика. В частности, гамма-функция используется для обобщения понятия факториала на множества действительных и комплексных значений аргумента и расширения понятия производной на дробные значения. (ru) 在數學中，函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果為正整數，則： 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上： 数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学中此函數很常用。 (zh) Гамма-функція (позначається великою літерою грецького алфавіту — Гамма, Γ) —є одним із способів узагальнення функції факторіала, до дійсних і комплексних чисел, із зсувом її аргумента менше на 1. Даніель Бернуллі вивів цю функцію для n, що є додатнім цілим числом, Хоча існують і інші подібні розширення, це конкретне визначення є найбільш популярним і вживаним. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім не додатних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функція визначається через збіжний невласний інтеграл: Цю інтегральну функцію за допомогою аналітичного продовження можна розширити для всіх комплексних чисел, крім недодатних цілих (де функція має прості полюси), в результаті чого отримують мероморфну функцію яку називають гамма-функцією. Вона не має нулів, тож взаємна гамма функція 1/Γ(z) є голоморфною функцією. Гамма-функція відповідає перетворенню Мелліна для від'ємної показникової функції: Гамма-функція є складовою різних функцій розподілу імовірностей, тож вона використовується в таких областях як теорія імовірностей і статистика, а також у комбінаториці. (uk) |
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(ko) In de wiskunde is de gammafunctie, weergegeven door de Griekse hoofdletter , een speciale functie die een analytische voortzetting vormt van de faculteit naar de reële en complexe getallen. De notatie is door Legendre ingevoerd. (nl) ガンマ関数（ガンマかんすう、英: gamma function）とは、数学において階乗の概念を複素数全体に拡張した（複素階乗ともいう）特殊関数である。ガンマ関数は複素数zに対して、関数で表す。 また、自然数n に対して、ガンマ関数とnの階乗との間では次の関係式が成り立つ： 互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者レオンハルト・オイラーが無限乗積の形で、最初に導入した。 (ja) In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo si ha: , dove denota il fattoriale di cioè il prodotto dei numeri interi da a : . (it) Gammafunktionen är en matematisk funktion som generaliserar fakulteten n!, det vill säga heltalsprodukten 1 · 2 · 3 · ... · n, till de reella talen och även de komplexa. Den definierades 1729 av Leonhard Euler och betecknas . Gammafunktionen används inom många områden av matematiken, bland annat för lösningar till integraler och räknas som en av de viktigaste speciella funktionerna. (sv) Гамма-функция — математическая функция. Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру. Гамма-функция чрезвычайно широко применяется в науке. Среди основных областей её применения — математический анализ, теория вероятностей, комбинаторика, статистика, атомная физика, астрофизика, гидродинамика, сейсмология и экономика. В частности, гамма-функция используется для обобщения понятия факториала на множества действительных и комплексных значений аргумента и расширения понятия производной на дробные значения. (ru) 在數學中，函数（伽瑪函數；Gamma函数），是階乘函數在實數與複數域上的擴展。如果為正整數，則： 根据解析延拓原理，伽瑪函數可以定義在除去非正整數的整個複數域上： 数学家勒讓德首次使用了希腊字母Γ作为该函数的记号。在機率論和组合数学中此函數很常用。 (zh) في الرياضيات، دالة غاما (بالإنجليزية: Gamma function) (والممثلة عموما بالحرف Γ، الحرف اليوناني الكبير غاما) هي امتداد لدالة المضروب في الأعداد الحقيقية والمركبة. إذن، دالة غاما هي دالة تحقق ما يلي بالنسبة عدد صحيح موجب n: دالة غاما هي دالة معرفة عند جميع الأعداد المركبة باستثناء الأعداد الصحيحة السالبة. فللعدد z الذي يتكون من جزء حقيقي موجب تعرف دالة غاما كما يلي: حيث . دانييل برنولي هو من اكتشف هذه الصيغة. ويمكن أن يمتد هذا التعريف بالامتداد التحليلي إلى دالة جزئية الشكل تصير دالة تامة الشكل على المستوى العقدي كله باستثناء الصفر والأعداد الصحيحة السلبية حيث للدالة أقطاب بسيطة. (ar) En matemàtiques, la funció gamma (també coneguda com a funció gamma completa, per distingir-la de la funció gamma incompleta) és una extensió de la funció factorial, amb el seu argument menys 1, als nombres reals i complexos. Es denota com , representada per la lletra majúscula grega Γ. És a dir, si n és un enter positiu: . La funció gamma està definida per a tots els nombres complexos, excepte els nombres enters no positius. Per als nombres complexos amb una part real positiva, es defineix per una integral impròpia convergent: . . (ca) Η συνάρτηση γάμμα ορίζεται στο πεδίο σύμφωνα με: Η συνάρτηση γάμμα ικανοποιεί την συναρτηρησιακή σχέση: Από τη σχέση αυτή και από προκύπτει .Για το λόγο αυτό η συνάρτηση γάμμα θεωρείται επέκταση του παραγοντικού. Εφαρμόζοντας την συναρτηρησιακή σχέση φορές προκύπτει: Το δεξί μέρος της εξίσωσης ορίζει μία μερομορφική συνάρτηση στο με πόλους πρώτου βαθμού στα .Σύμφωνα με αυτή τη σχέση η συνάρτηση γάμμα σε μία μερομορφική συνάρτηση σε όλο το με πόλους πρώτου βαθμού στα . Μια ιδιότητα της συνάρτησης Γάμμα,χρήσιμη σε διάφορες εφαρμογές των Μαθηματικών,της Φυσικής και άλλων επιστημών είναι η εξής: (el) En matematiko, Γ-funkcio aŭ gamo-funkcio estas funkcio kies argumento kaj valoro estas reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Por kompleksa nombro z kun pozitiva reela parto ĝi estas difinita kiel kiu povas esti etendita al la tuta kompleksa ebeno escepte de la nepozitivaj entjeroj (0, −1, −2, −3, …). Γ funkcio estas vastigaĵo de la faktorialo. Se n estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, …), tiam Γ(n+1) = n! Aŭ ekvivalente se n estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, …), tiam Γ(n) = (n−1)! Γ funkcio estas skribata per greka majuskla litero gamo. La skribmaniero Γ(z) estas de Adrien-Marie Legendre. (eo) Die Eulersche Gammafunktion, auch kurz Gammafunktion oder Eulersches Integral zweiter Gattung, ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen und wird in den mathematischen Teilgebieten der Analysis und der Funktionentheorie untersucht. Sie wird heute durch ein , den griechischen Großbuchstaben Gamma, bezeichnet und ist eine transzendente meromorphe Funktion mit der Eigenschaft Die Gammafunktion liegt der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung zugrunde. (de) In mathematics, the gamma function (represented by Γ, the capital letter gamma from the Greek alphabet) is one commonly used extension of the factorial function to complex numbers. The gamma function is defined for all complex numbers except the non-positive integers. For every positive integer n, Derived by Daniel Bernoulli, for complex numbers with a positive real part, the gamma function is defined via a convergent improper integral: (en) En matemáticas, la función gamma (denotada como , donde es la letra griega gamma en mayúscula), es una aplicación que extiende el concepto de factorial a los números reales y complejos. La notación fue propuesta por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo es positiva, entonces la integral converge absolutamente; esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo, excepto a los enteros negativos y al cero. Si entonces (es) Matematikan, gamma funtzioa faktorial kontzeptua zenbaki erreal eta konplexuetara zabaltzen duen aplikazioa da. Greziako gamma letra maiuskularen sinboloarekin adierazten da: . Notazioa Adrien-Marie Legendre-k proposatu zuen. Zenbaki konplexuaren zati erreala positiboa bada, integralak guztiz bat egiten du; integral hori plano konplexu osora zabal daiteke, negatibo eta zero diren osoetan izan ezik. Orduan (eu) Di dalam matematika, fungsi gamma (disajikan oleh huruf kapital Yunani Γ) merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial, dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks. Yaitu, jika n adalah bilangan bulat , maka: Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali bilangan bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, fungsi gamma terdefinisi melalui sebuah integral takwajar yang konvergen: (in) Funkcja gamma (zwana też gammą Eulera) – funkcja specjalna, która rozszerza pojęcie silni na zbiór liczb rzeczywistych i zespolonych. Gdy część rzeczywista liczby zespolonej z jest dodatnia, to całka (całka Eulera): jest zbieżna bezwzględnie. Całkując przez części, można pokazać, że: Zważywszy na to, iż Γ(1)=1, z powyższego wzoru wynika, że Γ(n+1)=n! dla wszystkich liczb naturalnych n. Drugim sposobem określenia funkcji Γ (dla dowolnych liczb zespolonych) jest: Możemy także określić odwrotność funkcji Gamma następująco (γ to stała Eulera-Mascheroniego): Funkcja gamma nie ma miejsc zerowych. (pl) Em matemática, a função gama (representada pela letra maiúscula grega ) é uma extensão da função factorial para o conjunto dos números reais e complexos, com o argumento subtraído em 1. Se n é um inteiro positivo define-se da seguinte forma: ou Esta função é estendida por uma continuação analítica (ou extensão analítica) para todos números complexos com, não estando definida apenas nos inteiros não-positivos (em que a função tem polos simples). Portanto, para números complexos com a parte real positiva a definição segue por uma integral imprópria convergente: (pt) Гамма-функція (позначається великою літерою грецького алфавіту — Гамма, Γ) —є одним із способів узагальнення функції факторіала, до дійсних і комплексних чисел, із зсувом її аргумента менше на 1. Даніель Бернуллі вивів цю функцію для n, що є додатнім цілим числом, Хоча існують і інші подібні розширення, це конкретне визначення є найбільш популярним і вживаним. Гамма-функція визначена для всіх комплексних чисел, окрім не додатних цілих. Для комплексних чисел із додатною дійсною частиною, гамма-функція визначається через збіжний невласний інтеграл: (uk) |
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