Baire category theorem (original) (raw)
Baireova věta o kategoriích je matematická věta. Zní: Nechť je úplný metrický prostor a spočetný systém otevřených hustých podmnožin . Pak průnik těchto podmnožin je hustá množina v .
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| dbo:abstract | En matemàtiques, el teorema de categories de Baire (TCB) és una eina important en l'estudi d'espais complets, com els de Banach i Hilbert, que sorgeixen en topologia i anàlisi funcional. Rep el seu nom en honor del matemàtic francès René Baire. El teorema té dues formes, cadascuna de les quals dóna condicions suficients perquè un espai topològic sigui un (un espai topològic tal que la intersecció de conjunts oberts densos és dens). Les versions del teorema de categories de Baire van ser provades per primera vegada de manera independent el 1897 i el 1899 per Osgood i , respectivament. L'enunciat del teorema és: Un espai topològic és un si és separable i a més la unió numerable de qualsevol col·lecció de subconjunts tancats amb interior buit també té interior buit. La prova del teorema usa l'axioma d'elecció. (ca) Baireova věta o kategoriích je matematická věta. Zní: Nechť je úplný metrický prostor a spočetný systém otevřených hustých podmnožin . Pak průnik těchto podmnožin je hustá množina v . (cs) Der Satz von Baire, auch Bairescher Kategoriensatz, Satz von Baire-Hausdorff oder einfach Kategoriensatz genannt, ist ein Lehrsatz aus der Mathematik. Er wird in der Literatur in verschiedenen Versionen formuliert und enthält im Kern eine topologische Aussage. Diese Aussage ist in verschiedenen angrenzenden Teilgebieten der Mathematik wie der deskriptiven Mengenlehre, der Maßtheorie und der Funktionalanalysis von erheblicher Bedeutung. So lässt sich sowohl der Satz von Banach-Steinhaus, das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und der Satz über die offene Abbildung aus dem Satz von Baire ableiten.Die Benennung als "Kategoriensatz" beruht auf der Tatsache, dass für die Formulierung des Satzes spezielle Mengen verwendet werden, die als Mengen erster und Mengen zweiter Kategorie bezeichnet werden. Es besteht kein direkter Bezug zur Kategorientheorie. Die ersten Versionen des Satzes stammen von William Fogg Osgood (1897 Herleitung für den Spezialfall der reellen Achse ) und von René Louis Baire (1899 Herleitung für den Spezialfall des euklidischen Raumes ). Eine allgemeinere Version wurde von Felix Hausdorff im Jahr 1914 gezeigt. (de) The Baire category theorem (BCT) is an important result in general topology and functional analysis. The theorem has two forms, each of which gives sufficient conditions for a topological space to be a Baire space (a topological space such that the intersection of countably many dense open sets is still dense). It is used in the proof of results in many areas of analysis and geometry, including some of the fundamental theorems of functional analysis. Versions of the Baire category theorem were first proved independently in 1897 by Osgood for the real line and in 1899 by Baire for Euclidean space . (en) El teorema de categorías de Baire o simplemente teorema de Baire es una herramienta importante en topología general y en análisis funcional. El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire. La versión para espacios métricos completos fue demostrada por René-Louis Baire en su tesis doctoral de 1899. (es) Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire. (fr) In matematica, il teorema della categoria di Baire è un importante strumento della topologia generale e dell'analisi funzionale. Il teorema è disponibile in due versioni, ciascuna delle quali fornisce una condizione sufficiente affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire. Si deve al matematico francese René-Louis Baire, che lo dimostrò nella sua tesi di laurea nel 1899, Sur les fonctions de variable réelles. (it) Twierdzenie Baire’a – twierdzenie w topologii mówiące, że przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych w przestrzeni zupełnej jest zbiorem brzegowym. Twierdzenie to zostało nazwane na cześć francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a. (pl) 数学におけるベールの範疇定理（ベールのはんちゅうていり、英: Baire category theorem）、あるいはベールのカテゴリー定理は、位相空間論および関数解析学で重要な道具で、ルネ＝ルイ・ベールが1899年の博士学位論文において証明した。この定理には二つの形があり、何れも位相空間がベール空間であるための十分条件を与えるものになっている。 (ja) De categoriestelling van Baire is een belangrijk instrument in de algemene topologie en de functionaalanalyse. De stelling heeft twee vormen, die elk voor een topologische ruimte voldoende voorwaarden zijn dat deze topologische ruimte tevens een Baire-ruimte is. De stelling werd in 1899 door René Baire in zijn proefschrift bewezen. (nl) Baires kategorisats är ett fundamentalt begrepp inom funktionalanalys som bland annat ger upphov till de stora teoremen inom funktionalanalys: Banach-Schauders sats, satsen om den slutna grafen och Banach-Steinhaus sats. Satsen är uppkallad efter René-Louis Baire. (sv) Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema da categoria de Baire ou apenas teorema de Baire fornece condições suficientes para estabelecer que determinado espaço topológico é um espaço de Baire, ou seja, um espaço de segunda categoria em si mesmo. Este resultado possui esse nome em homenagem ao matemático René-Louis Baire (1874 - 1932), onde em sua tese intitulada Sur les fonctions de variable réelles ("On the Functions of Real Variables"), trouxe a noção de conjunto magro e o resultado que leva seu nome. (pt) Категорія Бера — один із способів розрізняти «великі» і «малі» множини. Підмножина топологічного простору може бути першої або другої категорії Бера. Названа на честь французького математика Рене-Луї Бера. (uk) 贝尔纲定理是点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式，每一个都给出了拓扑空间是的充分条件。 该定理由勒内-路易·贝尔在他1899年的博士论文中证明。 (zh) |
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| rdfs:comment | Baireova věta o kategoriích je matematická věta. Zní: Nechť je úplný metrický prostor a spočetný systém otevřených hustých podmnožin . Pak průnik těchto podmnožin je hustá množina v . (cs) El teorema de categorías de Baire o simplemente teorema de Baire es una herramienta importante en topología general y en análisis funcional. El teorema tiene dos formas, cada una de las cuales da condiciones suficientes para que un espacio topológico sea un espacio de Baire. La versión para espacios métricos completos fue demostrada por René-Louis Baire en su tesis doctoral de 1899. (es) Le théorème de Baire, dit aussi lemme de Baire, est un théorème de topologie dû au mathématicien René Baire. (fr) In matematica, il teorema della categoria di Baire è un importante strumento della topologia generale e dell'analisi funzionale. Il teorema è disponibile in due versioni, ciascuna delle quali fornisce una condizione sufficiente affinché uno spazio topologico sia uno spazio di Baire. Si deve al matematico francese René-Louis Baire, che lo dimostrò nella sua tesi di laurea nel 1899, Sur les fonctions de variable réelles. (it) Twierdzenie Baire’a – twierdzenie w topologii mówiące, że przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych w przestrzeni zupełnej jest zbiorem brzegowym. Twierdzenie to zostało nazwane na cześć francuskiego matematyka René-Louisa Baire’a. (pl) 数学におけるベールの範疇定理（ベールのはんちゅうていり、英: Baire category theorem）、あるいはベールのカテゴリー定理は、位相空間論および関数解析学で重要な道具で、ルネ＝ルイ・ベールが1899年の博士学位論文において証明した。この定理には二つの形があり、何れも位相空間がベール空間であるための十分条件を与えるものになっている。 (ja) De categoriestelling van Baire is een belangrijk instrument in de algemene topologie en de functionaalanalyse. De stelling heeft twee vormen, die elk voor een topologische ruimte voldoende voorwaarden zijn dat deze topologische ruimte tevens een Baire-ruimte is. De stelling werd in 1899 door René Baire in zijn proefschrift bewezen. (nl) Baires kategorisats är ett fundamentalt begrepp inom funktionalanalys som bland annat ger upphov till de stora teoremen inom funktionalanalys: Banach-Schauders sats, satsen om den slutna grafen och Banach-Steinhaus sats. Satsen är uppkallad efter René-Louis Baire. (sv) Em matemática, sobretudo na análise funcional, o teorema da categoria de Baire ou apenas teorema de Baire fornece condições suficientes para estabelecer que determinado espaço topológico é um espaço de Baire, ou seja, um espaço de segunda categoria em si mesmo. Este resultado possui esse nome em homenagem ao matemático René-Louis Baire (1874 - 1932), onde em sua tese intitulada Sur les fonctions de variable réelles ("On the Functions of Real Variables"), trouxe a noção de conjunto magro e o resultado que leva seu nome. (pt) Категорія Бера — один із способів розрізняти «великі» і «малі» множини. Підмножина топологічного простору може бути першої або другої категорії Бера. Названа на честь французького математика Рене-Луї Бера. (uk) 贝尔纲定理是点集拓扑学和泛函分析中的一个重要的工具。这个定理有两种形式，每一个都给出了拓扑空间是的充分条件。 该定理由勒内-路易·贝尔在他1899年的博士论文中证明。 (zh) En matemàtiques, el teorema de categories de Baire (TCB) és una eina important en l'estudi d'espais complets, com els de Banach i Hilbert, que sorgeixen en topologia i anàlisi funcional. Rep el seu nom en honor del matemàtic francès René Baire. El teorema té dues formes, cadascuna de les quals dóna condicions suficients perquè un espai topològic sigui un (un espai topològic tal que la intersecció de conjunts oberts densos és dens). Les versions del teorema de categories de Baire van ser provades per primera vegada de manera independent el 1897 i el 1899 per Osgood i , respectivament. (ca) Der Satz von Baire, auch Bairescher Kategoriensatz, Satz von Baire-Hausdorff oder einfach Kategoriensatz genannt, ist ein Lehrsatz aus der Mathematik. Er wird in der Literatur in verschiedenen Versionen formuliert und enthält im Kern eine topologische Aussage. Diese Aussage ist in verschiedenen angrenzenden Teilgebieten der Mathematik wie der deskriptiven Mengenlehre, der Maßtheorie und der Funktionalanalysis von erheblicher Bedeutung. So lässt sich sowohl der Satz von Banach-Steinhaus, das Prinzip der gleichmäßigen Beschränktheit und der Satz über die offene Abbildung aus dem Satz von Baire ableiten.Die Benennung als "Kategoriensatz" beruht auf der Tatsache, dass für die Formulierung des Satzes spezielle Mengen verwendet werden, die als Mengen erster und Mengen zweiter Kategorie bezeichne (de) The Baire category theorem (BCT) is an important result in general topology and functional analysis. The theorem has two forms, each of which gives sufficient conditions for a topological space to be a Baire space (a topological space such that the intersection of countably many dense open sets is still dense). It is used in the proof of results in many areas of analysis and geometry, including some of the fundamental theorems of functional analysis. (en) |
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