Banach–Stone theorem (original) (raw)
In mathematics, the Banach–Stone theorem is a classical result in the theory of continuous functions on topological spaces, named after the mathematicians Stefan Banach and Marshall Stone. In brief, the Banach–Stone theorem allows one to recover a compact Hausdorff space X from the Banach space structure of the space C(X) of continuous real- or complex-valued functions on X. If one is allowed to invoke the algebra structure of C(X) this is easy – we can identify X with the spectrum of C(X), the set of algebra homomorphisms into the scalar field, equipped with the weak*-topology inherited from the dual space C(X)*. The Banach-Stone theorem avoids reference to multiplicative structure by recovering X from the extreme points of the unit ball of C(X)*.
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| dbo:abstract | Der Satz von Banach-Stone ist ein klassischer mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen Topologie und Funktionalanalysis angesiedelt ist. Er geht auf die beiden Mathematiker Stefan Banach und Marshall Stone zurück. Die Aussage des Satzes lässt sich so zusammenfassen, dass die Struktur eines kompakten Hausdorffraums und die Struktur des zugehörigen Banachraums der auf ihm gegebenen stetigen reellwertigen Funktionen unmittelbar miteinander verknüpft sind und einander wechselseitig bis auf Isomorphie festlegen. Der Satz von Banach-Stone ist Untersuchungsgegenstand und Ausgangspunkt einer Reihe von weitergehenden Untersuchungen. (de) In mathematics, the Banach–Stone theorem is a classical result in the theory of continuous functions on topological spaces, named after the mathematicians Stefan Banach and Marshall Stone. In brief, the Banach–Stone theorem allows one to recover a compact Hausdorff space X from the Banach space structure of the space C(X) of continuous real- or complex-valued functions on X. If one is allowed to invoke the algebra structure of C(X) this is easy – we can identify X with the spectrum of C(X), the set of algebra homomorphisms into the scalar field, equipped with the weak*-topology inherited from the dual space C(X)*. The Banach-Stone theorem avoids reference to multiplicative structure by recovering X from the extreme points of the unit ball of C(X)*. (en) En mathématiques, le théorème de Banach-Stone, nommé d'après Stefan Banach et Marshall Stone, est un résultat d'analyse fonctionnelle selon lequel si deux espaces compacts ont le « même » espace vectoriel normé (à isomorphisme près) d'applications continues à valeurs complexes, alors ils sont homéomorphes. (fr) Twierdzenie Banacha-Stone’a – twierdzenie analizy funkcjonalnej mówiące, że jeżeli i są takimi zwartymi przestrzeniami Hausdorffa, że przestrzenie Banacha i (tzn. przestrzenie rzeczywistych funkcji ciągłych na nich określonych z normą supremum) są izomorficznie izometryczne, to przestrzenie i są homeomorficzne. Prawdziwa jest również analogiczna wersja twierdzenia dla przestrzeni lokalnie zwartych oraz przestrzeni zespolonych funkcji ciągłych. Twierdzenie to pojawiło się po raz pierwszy w 1932, w monografii napisanej przez Stefana Banacha wraz z dodatkowym założeniem o metryzowalności przestrzeni i Dowód w pełnej ogólności podał Marshall Harvey Stone w 1937. (pl) |
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