Greatest element and least element (original) (raw)
In mathematics, especially in order theory, the greatest element of a subset of a partially ordered set (poset) is an element of that is greater than every other element of . The term least element is defined dually, that is, it is an element of that is smaller than every other element of
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matemàtiques, i particularment en teoria de l'ordre, l'element major d'un subconjunt S d'un conjunt parcialment ordenat és un element de S que és major o igual que qualsevol altre element de S . L'element menor de S es defineix i correspon a un element de S que és menor o igual que qualsevol altre element de S . Formalment, donat un Poset ( P , ≤) i un subconjunt S ⊆ P , llavors: * a ∈ S és un element major de S si per a tot x ∈ S , x ≤ a . * a ∈ S és un element menor de S si per a tot x ∈ S , a ≤ x . Si tant l'element major com el menor existeixen, llavors aquests són únics. Tot element més és un element maximal, i tot element menor és un element minimal. (ca) Jako největší prvek množiny se označuje takový prvek, který je větší než všechny ostatní prvky této množiny. Formálně: prvek a ∈ A je největším prvkem množiny A (která je podmnožinou nějaké částečně uspořádané množiny), pokud platí: pro libovolný prvek b ∈ A platí b ≤ a. Obdobně je definován nejmenší prvek, který je menší než všechny ostatní prvky této množiny (a ve formální definici se tedy objevuje opačná podmínka: a ≤ b pro všechny prvky b). Největší prvek množiny A se značí max A, nejmenší prvek min A. Některé množiny (například otevřený interval) největší (resp. nejmenší) prvek nemají, ale mohou mít supremum (resp. infimum). Pokud množina největší (resp. nejmenší) prvek má, je tento prvek také jediným maximálním (resp. minimálním) prvkem této množiny. Libovolná množina má nejvýše jeden největší (resp. nejmenší) prvek. (cs) Das größte beziehungsweise kleinste Element sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Ordnungstheorie. Das größte Element wird auch als Maximum bezeichnet, dementsprechend spricht man beim kleinsten Element vom Minimum. Ein Element einer geordneten Menge ist das größte Element der Menge, wenn alle anderen Elemente kleiner sind. Es ist das kleinste Element der Menge, wenn alle anderen Elemente größer sind. Weder das größte noch das kleinste Element einer Menge muss existieren, ist aber im Fall seiner Existenz jeweils bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt. Eine Maximumsfunktion liefert das größte ihrer Argumente als Wert, eine Minimumsfunktion liefert das kleinste ihrer Argumente. Die Abkürzungen max und min sind gebräuchlich, seltener auch Max und Min. (de) En matemáticas, y particularmente en teoría del orden, el elemento mayor de un subconjunto: B de un conjunto parcialmente ordenado: A es un elemento de B que es mayor o igual que cualquier otro elemento de B. El elemento menor de B se define dualmente y corresponde a un elemento de B que es menor o igual que cualquier otro elemento de B. Formalmente, dado un poset (A,≤) y un subconjunto S ⊆ A, entonces: * a ∈ B es un elemento mayor de B si para todo x ∈ B, x ≤ a. * a ∈ B es un elemento menor de B si para todo x ∈ B, a ≤ x. La propiedad de antisimetría de la relación de orden ≤ asegura que de existir un elemento máximo o mínimo en un conjunto, estos son únicos. Todo elemento mayor es un elemento mayorante, y todo elemento menor es un elemento minorante. (es) In mathematics, especially in order theory, the greatest element of a subset of a partially ordered set (poset) is an element of that is greater than every other element of . The term least element is defined dually, that is, it is an element of that is smaller than every other element of (en) Matematikan, bereziki eta multzo teorian, (A,≤) izanik, a ∈ A elementua A-ren elementu maximoa da A edozein elementua baino handiago edo berdina bada; hau da, edozein x ∈ A elementurako, x ≤ a. Elementu minimoa definitzen da honela: a ∈ A elementua A-ren elementu minimoa da A edozein elementua baino txikiago edo berdina bada; hau da, edozein x ∈ A elementurako, a ≤ x. (≤) antisimetria-erlazioak bermatzen du, elementu maximoa edo minimoa izatekotan, bakarrak direla. (eu) 순서론에서, 부분 순서 집합의 최대 원소(最大元素, 영어: greatest element)는 모든 다른 원소들보다 큰 원소이다. 이와 비슷하게 최소 원소(最小元素, 영어: least element)는 모든 다른 원소들보다 작은 원소이다. 이들을 줄여서 최대원, 최소원이라고도 한다. (ko) 数学、特ににおいて、半順序集合の部分集合 S の最大元（さいだいげん、英語: greatest element）とは、S の全ての元の中で最も大きいものである。また、半順序集合の部分集合 S の最小元（さいしょうげん、英語: least element, smallest element）とは、S の全ての元の中で最も小さいものである。最大元（resp. 最小元）は最小元（resp. 最大元）のである。 本項では数学での用語について述べ、それ以外は「その他」に記載している。 (ja) In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een element van een deelverzameling van een geordende verzameling (preorde) een grootste element van genoemd, als alle elementen van kleiner zijn dan of equivalent aan dat element. Twee elementen zijn equivalent als ze in de orde dezelfde plaats innemen. Het ene komt niet vóór het andere en het andere niet vóór het ene. Een element van heet een kleinste element van als het kleiner is dan of equivalent aan alle elementen van . Grootste of kleinste elementen bestaan niet in alle gevallen, en als ze bestaan hoeven ze niet eenduidig te zijn. Als in een partiële orde een grootste of kleinste element bestaat, is het uniek en dus het grootste of kleinste element van de deelverzameling. (nl) Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru: Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru: Z definicji wynika, że zarówno element największy, jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P. Nie każdy zbiór częściowo uporządkowany ma element najmniejszy i największy. Np. zbiór liczb naturalnych (bez zera) częściowo uporządkowany relacją podzielności – każda liczba jest „większa” od swych dzielników, tzn. m jest „mniejsze” od n jeśli jest dzielnikiem liczby n: – ma element najmniejszy (jest nim liczba 1, która dzieli każdą liczbę naturalną), ale nie ma największego (nie istnieje liczba naturalna, która dzieliłaby się przez każdą inną).Z drugiej strony zbiór liczb uporządkowany według tej samej reguły nie ma elementu najmniejszego (brak w nim liczby, przez którą dzieliłaby się liczba 2 i liczba 3), za to ma element największy (jest nim liczba 24, która dzieli się przez każdą z pozostałych liczb zbioru G). Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony: * zbiór liczb z naturalnym porządkiem ma oba te elementy: najmniejszym jest 1, największym 3; * zbiór liczb naturalnych ma element najmniejszy (jest nim 1), ale nie ma największego; * zbiór liczb całkowitych nie ma ani elementu najmniejszego ani największego; aczkolwiek nieskończona moc zbioru nie przesądza o braku elementu najmniejszego lub największego: zbiór * liczb wymiernych w przedziale domkniętym ma element najmniejszy (zero) i największy (jedność), ale zbiory * liczb wymiernych w przedziale otwartym o krańcach wymiernych oraz * w przedziale o krańcach niewymiernych elementu najmniejszego ani największego nie mają. (pl) 数学分支序理论中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之，小於等於該集合的任何元素。例如，實數集中，最大元是，而最小元是，但是區間並無最大元或最小元。 此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。 (zh) В математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤) найбільшим елементом називається такий елемент для якого справедливо: найменшим елементом називається такий елемент для якого справедливо: Найбільшого або найменшого елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то вони єдині. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Lattice_of_the_divisibility_of_60_narrow_1,2,3,4.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 663041 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 16852 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1120529745 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Cambridge_University_Press dbr:Product_order dbr:Extreme_value dbc:Superlatives dbr:Upper_and_lower_bounds dbr:Upper_bound dbc:Order_theory dbr:Mathematics dbr:Maximal_and_minimal_elements dbr:Order_theory dbr:Limit_superior_and_limit_inferior dbr:Local_maximum dbr:Complemented_lattice dbr:Completeness_(order_theory) dbr:Total_order dbr:Duality_(order_theory) dbr:Essential_supremum_and_essential_infimum dbr:Partially_ordered_set dbr:Directed_set dbr:Ascending_chain_condition dbr:Initial_and_terminal_objects dbr:Integer dbr:Rational_number dbr:Real_number dbr:Reflexive_relation dbr:Chain_(order_theory) dbr:Maximal_element dbr:Lexicographical_order dbr:Preordered_set dbr:If,_and_only_if dbr:Least_upper_bound dbr:File:KeinVerband.svg dbr:File:Lattice_of_the_divisibility_of_60_narrow_1,2,3,4.svg |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cite_book dbt:Em dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Use_American_English |
| dcterms:subject | dbc:Superlatives dbc:Order_theory |
| rdfs:comment | In mathematics, especially in order theory, the greatest element of a subset of a partially ordered set (poset) is an element of that is greater than every other element of . The term least element is defined dually, that is, it is an element of that is smaller than every other element of (en) Matematikan, bereziki eta multzo teorian, (A,≤) izanik, a ∈ A elementua A-ren elementu maximoa da A edozein elementua baino handiago edo berdina bada; hau da, edozein x ∈ A elementurako, x ≤ a. Elementu minimoa definitzen da honela: a ∈ A elementua A-ren elementu minimoa da A edozein elementua baino txikiago edo berdina bada; hau da, edozein x ∈ A elementurako, a ≤ x. (≤) antisimetria-erlazioak bermatzen du, elementu maximoa edo minimoa izatekotan, bakarrak direla. (eu) 순서론에서, 부분 순서 집합의 최대 원소(最大元素, 영어: greatest element)는 모든 다른 원소들보다 큰 원소이다. 이와 비슷하게 최소 원소(最小元素, 영어: least element)는 모든 다른 원소들보다 작은 원소이다. 이들을 줄여서 최대원, 최소원이라고도 한다. (ko) 数学、特ににおいて、半順序集合の部分集合 S の最大元（さいだいげん、英語: greatest element）とは、S の全ての元の中で最も大きいものである。また、半順序集合の部分集合 S の最小元（さいしょうげん、英語: least element, smallest element）とは、S の全ての元の中で最も小さいものである。最大元（resp. 最小元）は最小元（resp. 最大元）のである。 本項では数学での用語について述べ、それ以外は「その他」に記載している。 (ja) In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, wordt een element van een deelverzameling van een geordende verzameling (preorde) een grootste element van genoemd, als alle elementen van kleiner zijn dan of equivalent aan dat element. Twee elementen zijn equivalent als ze in de orde dezelfde plaats innemen. Het ene komt niet vóór het andere en het andere niet vóór het ene. Een element van heet een kleinste element van als het kleiner is dan of equivalent aan alle elementen van . Grootste of kleinste elementen bestaan niet in alle gevallen, en als ze bestaan hoeven ze niet eenduidig te zijn. Als in een partiële orde een grootste of kleinste element bestaat, is het uniek en dus het grootste of kleinste element van de deelverzameling. (nl) 数学分支序理论中，最大元是某集合中，大於或等於其全體元素的特殊元素。最小元與之，小於等於該集合的任何元素。例如，實數集中，最大元是，而最小元是，但是區間並無最大元或最小元。 此處「大小」關係除一般實數的大小關係外，也可以是定義在任意集合上的偏序或預序。 (zh) В математиці, а саме в теорії порядку, для частково впорядкованої множини (P,≤) найбільшим елементом називається такий елемент для якого справедливо: найменшим елементом називається такий елемент для якого справедливо: Найбільшого або найменшого елементів може не існувати. Якщо ж вони існують, то вони єдині. (uk) En matemàtiques, i particularment en teoria de l'ordre, l'element major d'un subconjunt S d'un conjunt parcialment ordenat és un element de S que és major o igual que qualsevol altre element de S . L'element menor de S es defineix i correspon a un element de S que és menor o igual que qualsevol altre element de S . Formalment, donat un Poset ( P , ≤) i un subconjunt S ⊆ P , llavors: * a ∈ S és un element major de S si per a tot x ∈ S , x ≤ a . * a ∈ S és un element menor de S si per a tot x ∈ S , a ≤ x . (ca) Jako největší prvek množiny se označuje takový prvek, který je větší než všechny ostatní prvky této množiny. Formálně: prvek a ∈ A je největším prvkem množiny A (která je podmnožinou nějaké částečně uspořádané množiny), pokud platí: pro libovolný prvek b ∈ A platí b ≤ a. Obdobně je definován nejmenší prvek, který je menší než všechny ostatní prvky této množiny (a ve formální definici se tedy objevuje opačná podmínka: a ≤ b pro všechny prvky b). Největší prvek množiny A se značí max A, nejmenší prvek min A. (cs) Das größte beziehungsweise kleinste Element sind Begriffe aus dem mathematischen Teilgebiet der Ordnungstheorie. Das größte Element wird auch als Maximum bezeichnet, dementsprechend spricht man beim kleinsten Element vom Minimum. Ein Element einer geordneten Menge ist das größte Element der Menge, wenn alle anderen Elemente kleiner sind. Es ist das kleinste Element der Menge, wenn alle anderen Elemente größer sind. Weder das größte noch das kleinste Element einer Menge muss existieren, ist aber im Fall seiner Existenz jeweils bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt. (de) En matemáticas, y particularmente en teoría del orden, el elemento mayor de un subconjunto: B de un conjunto parcialmente ordenado: A es un elemento de B que es mayor o igual que cualquier otro elemento de B. El elemento menor de B se define dualmente y corresponde a un elemento de B que es menor o igual que cualquier otro elemento de B. Formalmente, dado un poset (A,≤) y un subconjunto S ⊆ A, entonces: * a ∈ B es un elemento mayor de B si para todo x ∈ B, x ≤ a. * a ∈ B es un elemento menor de B si para todo x ∈ B, a ≤ x. (es) Element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy najmniejszym, jeśli jest on mniejszy (lub równy) od każdego elementu zbioru: Podobnie, element x w częściowo uporządkowanym zbiorze (P, ≤) nazywamy największym, jeśli jest on większy (lub równy) od każdego elementu zbioru: Z definicji wynika, że zarówno element największy, jak i najmniejszy są porównywalne z każdym elementem zbioru P. Nawet porządek liniowy nie gwarantuje istnienia elementów najmniejszego i największego, jeśli zbiór jest nieskończony: * liczb wymiernych w przedziale domkniętym (pl) |
| rdfs:label | Major i menor (elements) (ca) Nejmenší a největší prvek (cs) Größtes und kleinstes Element (de) Elementu maximo eta minimo (eu) Elemento mayor y menor (es) Greatest element and least element (en) 최대 원소와 최소 원소 (ko) 最大と最小 (ja) Grootste en kleinste element (nl) Elementy najmniejszy i największy (pl) Наибольший и наименьший элементы (ru) 最大與最小元 (zh) Найбільший та найменший елемент (uk) |
| owl:sameAs | wikidata:Greatest element and least element dbpedia-ca:Greatest element and least element dbpedia-cs:Greatest element and least element dbpedia-de:Greatest element and least element dbpedia-es:Greatest element and least element dbpedia-eu:Greatest element and least element dbpedia-hr:Greatest element and least element dbpedia-ja:Greatest element and least element dbpedia-ko:Greatest element and least element dbpedia-nl:Greatest element and least element dbpedia-pl:Greatest element and least element dbpedia-ru:Greatest element and least element dbpedia-sr:Greatest element and least element dbpedia-uk:Greatest element and least element dbpedia-vi:Greatest element and least element dbpedia-zh:Greatest element and least element https://global.dbpedia.org/id/FGyR |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Greatest_element_and_least_element?oldid=1120529745&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/KeinVerband.svg wiki-commons:Special:FilePath/Lattice_of_the_divisibility_of_60_narrow_1,2,3,4.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Greatest_element_and_least_element |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Top_element dbr:Bottom_element dbr:Greatest_and_least_elements dbr:Greatest_element dbr:LEAST_ELEMENT dbr:Largest_element dbr:Largest_member dbr:Lowest_element dbr:Least_and_greatest_elements dbr:Least_element |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Top_element dbr:Bottom_element dbr:Upper_and_lower_bounds dbr:Introduction_to_Lattices_and_Order dbr:Maximal_and_minimal_elements dbr:Measure_(mathematics) dbr:Greatest_and_least_elements dbr:Bounded_complete_poset dbr:Greatest_element dbr:Filter_(set_theory) dbr:Directed_set dbr:Suslin's_problem dbr:LEAST_ELEMENT dbr:Top_and_bottom dbr:Largest_element dbr:Largest_member dbr:Lowest_element dbr:Least_and_greatest_elements dbr:Least_element |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Greatest_element_and_least_element |
