Carathéodory's extension theorem (original) (raw)
Der Maßerweiterungssatz von Carathéodory, englisch Carathéodory’s extension theorem, oder auch Satz von Carathéodory über Fortsetzung von Maßen, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Dieser Satz dient dazu, Prämaße, die auf Mengenringen definiert sind, zu Maßen auf σ-Algebren fortzusetzen. Mit dieser auf Constantin Carathéodory zurückgehenden Methode kann insbesondere das Lebesguemaß auf die Längenbestimmung von Intervallen zurückgeführt werden.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Der Maßerweiterungssatz von Carathéodory, englisch Carathéodory’s extension theorem, oder auch Satz von Carathéodory über Fortsetzung von Maßen, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Dieser Satz dient dazu, Prämaße, die auf Mengenringen definiert sind, zu Maßen auf σ-Algebren fortzusetzen. Mit dieser auf Constantin Carathéodory zurückgehenden Methode kann insbesondere das Lebesguemaß auf die Längenbestimmung von Intervallen zurückgeführt werden. (de) In measure theory, Carathéodory's extension theorem (named after the mathematician Constantin Carathéodory) states that any pre-measure defined on a given ring R of subsets of a given set Ω can be extended to a measure on the σ-algebra generated by R, and this extension is unique if the pre-measure is σ-finite. Consequently, any pre-measure on a ring containing all intervals of real numbers can be extended to the Borel algebra of the set of real numbers. This is an extremely powerful result of measure theory, and leads, for example, to the Lebesgue measure. The theorem is also sometimes known as the Carathéodory-Fréchet extension theorem, the Carathéodory–Hopf extension theorem, the Hopf extension theorem and the Hahn–Kolmogorov extension theorem. (en) En théorie de la mesure, le théorème d'extension de Carathéodory est un théorème fondamental, qui est à la base de la construction de la plupart des mesures usuelles. Constitué par généralisation à un cadre abstrait des idées fondant la construction de la mesure de Lebesgue, et exposé sous diverses variantes, il est également mentionné par certains auteurs sous les noms de théorème de Carathéodory-Hahn ou théorème de Hahn-Kolmogorov (certaines sources distinguent un théorème de Carathéodory qui est l'énoncé d'existence, et un théorème de Hahn qui est l'énoncé d'unicité). (fr) 数学の測度論におけるカラテオドリの拡張定理（カラテオドリのかくちょうていり、英: Carathéodory's extension theorem）は「与えられた集合 Ω の部分集合族である集合環 R 上定義される任意の は、R が生成する完全加法族上の測度へと一意に拡張できる」ということを述べた定理である。この定理の帰結として、実数からなる区間すべてを含む空間上で定義された任意の測度は、実数全体の成す集合 R 上のボレル集合族上の測度へと拡張することができる。これは測度論における非常に強力な結果であり、例えば、ルベーグ測度の存在の証明にも使用された。 (ja) 측도론에서 카라테오도리 확장 정리(Carathéodory擴張定理, 영어: Carathéodory’s extension theorem) 또는 한-콜모고로프 정리(Hahn-Колмого́ров定理, 영어: Hahn–Kolmogorov theorem)는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다. (ko) В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільну (зліченно-адитивну) міру на деякому кільці підмножин множини можна продовжити на σ-кільце, породжене кільцем . У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега. (uk) В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце подмножеств множества может быть продолжена на σ-кольцо, порождённое кольцом . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега. (ru) |
| dbo:wikiPageID | 4026968 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 15106 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1119611593 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Power_set dbr:Pre-measures dbr:Borel_algebra dbr:Ring_of_sets dbr:Σ-algebra dbr:Σ-finite dbr:Pre-measure dbr:Complement_(set_theory) dbr:Constantin_Carathéodory dbr:Measure_(mathematics) dbr:Measure_theory dbc:Theorems_in_measure_theory dbr:Content_(measure_theory) dbr:Sigma-algebra dbr:Sigma-finite dbr:Fubini's_theorem dbr:Mathematician dbr:Countable dbr:Lebesgue_measure dbr:Field_of_sets dbr:Outer_measure dbr:Restriction_(mathematics) dbr:Interval_(mathematics) dbr:Disjoint_union dbr:Borel_hierarchy dbr:Integer dbr:Real_number dbr:Semi-ring_of_sets dbr:Set_(mathematics) dbr:Set_function dbr:Stieltjes_measures dbr:Uncountable dbr:Powerset dbr:Disjoint_set dbr:Carathéodory-measurable_set dbr:Loeb_measure dbr:Caratheodory_lemma |
| dbp:id | 5409 (xsd:integer) |
| dbp:title | Hahn–Kolmogorov theorem (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Other_uses dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Visible_anchor dbt:Measure_theory dbt:PlanetMath_attribution |
| dct:subject | dbc:Theorems_in_measure_theory |
| rdf:type | yago:WikicatMathematicalTheorems yago:WikicatTheoremsInMeasureTheory yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:Message106598915 yago:Proposition106750804 yago:Statement106722453 yago:Theorem106752293 |
| rdfs:comment | Der Maßerweiterungssatz von Carathéodory, englisch Carathéodory’s extension theorem, oder auch Satz von Carathéodory über Fortsetzung von Maßen, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie. Dieser Satz dient dazu, Prämaße, die auf Mengenringen definiert sind, zu Maßen auf σ-Algebren fortzusetzen. Mit dieser auf Constantin Carathéodory zurückgehenden Methode kann insbesondere das Lebesguemaß auf die Längenbestimmung von Intervallen zurückgeführt werden. (de) En théorie de la mesure, le théorème d'extension de Carathéodory est un théorème fondamental, qui est à la base de la construction de la plupart des mesures usuelles. Constitué par généralisation à un cadre abstrait des idées fondant la construction de la mesure de Lebesgue, et exposé sous diverses variantes, il est également mentionné par certains auteurs sous les noms de théorème de Carathéodory-Hahn ou théorème de Hahn-Kolmogorov (certaines sources distinguent un théorème de Carathéodory qui est l'énoncé d'existence, et un théorème de Hahn qui est l'énoncé d'unicité). (fr) 数学の測度論におけるカラテオドリの拡張定理（カラテオドリのかくちょうていり、英: Carathéodory's extension theorem）は「与えられた集合 Ω の部分集合族である集合環 R 上定義される任意の は、R が生成する完全加法族上の測度へと一意に拡張できる」ということを述べた定理である。この定理の帰結として、実数からなる区間すべてを含む空間上で定義された任意の測度は、実数全体の成す集合 R 上のボレル集合族上の測度へと拡張することができる。これは測度論における非常に強力な結果であり、例えば、ルベーグ測度の存在の証明にも使用された。 (ja) 측도론에서 카라테오도리 확장 정리(Carathéodory擴張定理, 영어: Carathéodory’s extension theorem) 또는 한-콜모고로프 정리(Hahn-Колмого́ров定理, 영어: Hahn–Kolmogorov theorem)는 완비 측도를 특수한 부분 집합의 측도 값들로부터 구성하는 정리이다. (ko) В теорії міри теорема Каратеодорі твердить, що довільну (зліченно-адитивну) міру на деякому кільці підмножин множини можна продовжити на σ-кільце, породжене кільцем . У випадку σ-скінченності міри таке продовження є єдиним. З теореми зокрема випливає існування і єдиність міри Бореля і міри Лебега. (uk) В теории меры теорема Каратеодори утверждает, что произвольная счётно-аддитивная мера на некотором кольце подмножеств множества может быть продолжена на σ-кольцо, порождённое кольцом . В случае σ-конечности меры такое продолжение является единственным. Из теоремы, в частности, вытекает существование и единственность меры Бореля и меры Лебега. (ru) In measure theory, Carathéodory's extension theorem (named after the mathematician Constantin Carathéodory) states that any pre-measure defined on a given ring R of subsets of a given set Ω can be extended to a measure on the σ-algebra generated by R, and this extension is unique if the pre-measure is σ-finite. Consequently, any pre-measure on a ring containing all intervals of real numbers can be extended to the Borel algebra of the set of real numbers. This is an extremely powerful result of measure theory, and leads, for example, to the Lebesgue measure. (en) |
| rdfs:label | Maßerweiterungssatz von Carathéodory (de) Carathéodory's extension theorem (en) Théorème d'extension de Carathéodory (fr) カラテオドリの拡張定理 (ja) 카라테오도리 확장 정리 (ko) Теорема Каратеодори о продолжении меры (ru) Теорема Каратеодорі про продовження міри (uk) |
| owl:sameAs | freebase:Carathéodory's extension theorem wikidata:Carathéodory's extension theorem dbpedia-de:Carathéodory's extension theorem dbpedia-fr:Carathéodory's extension theorem dbpedia-he:Carathéodory's extension theorem dbpedia-ja:Carathéodory's extension theorem dbpedia-ko:Carathéodory's extension theorem dbpedia-ru:Carathéodory's extension theorem dbpedia-uk:Carathéodory's extension theorem https://global.dbpedia.org/id/2U2YQ |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Carathéodory's_extension_theorem?oldid=1119611593&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Carathéodory's_extension_theorem |
| is dbo:knownFor of | dbr:Hans_Hahn_(mathematician) |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Extension_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Hahn-Kolmogorov_theorem dbr:Caratheodory's_extension_theorem dbr:Hahn–Kolmogorov_theorem dbr:Hahn-Kolmogorov_extension_theorem dbr:Caratheodory_extension_theorem dbr:Caratheodory’s_extension_theorem dbr:Carathéodory_extension_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Probability_space dbr:Extension_theorem dbr:Hahn-Kolmogorov_theorem dbr:Metric_outer_measure dbr:Caratheodory's_extension_theorem dbr:Measure_(mathematics) dbr:Geometric_set_cover_problem dbr:Content_(measure_theory) dbr:Fubini's_theorem dbr:Hausdorff_measure dbr:Lebesgue_covering_dimension dbr:Lebesgue_measure dbr:Loeb_space dbr:Outer_measure dbr:Carathéodory's_theorem dbr:Hans_Hahn_(mathematician) dbr:Lebesgue–Stieltjes_integration dbr:Set_function dbr:List_of_theorems dbr:Vitali_set dbr:Hahn–Kolmogorov_theorem dbr:Hahn-Kolmogorov_extension_theorem dbr:Caratheodory_extension_theorem dbr:Caratheodory’s_extension_theorem dbr:Carathéodory_extension_theorem |
| is dbp:knownFor of | dbr:Hans_Hahn_(mathematician) |
| is rdfs:seeAlso of | dbr:Set_function |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Carathéodory's_extension_theorem |