Power set (original) (raw)
Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit , P(S), ℘(S), o , com el conjunt de tots els subconjunts de S. Per exemple, si S és el conjunt {a, b, c} aleshores la llista completa dels subconjunts de S és: * {Ø} (conjunt buit) * {a} * {b} * {c} * {a,b} * {a,c} * {b,c} * {a,b,c} Per tant, el conjunt de les parts de S serà: Si S és un conjunt finit amb card (S) = n elements, aleshores el conjunt de les parts de S conté card(℘(S))= 2n elements.
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| dbo:abstract | Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit , P(S), ℘(S), o , com el conjunt de tots els subconjunts de S. Per exemple, si S és el conjunt {a, b, c} aleshores la llista completa dels subconjunts de S és: * {Ø} (conjunt buit) * {a} * {b} * {c} * {a,b} * {a,c} * {b,c} * {a,b,c} Per tant, el conjunt de les parts de S serà: Si S és un conjunt finit amb card (S) = n elements, aleshores el conjunt de les parts de S conté card(℘(S))= 2n elements. (ca) Potenční množina množiny (značí se nebo též ), podle některých autorů též booleán , je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny . Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny. Každá podmnožina potenční množiny se nazývá systém množin na množině X. (cs) في الرياضيات، مجموعة المجموعات الجزئية (بالإنجليزية: Power set) هي المجموعة المكونة من المجموعات الجزئية لمجموعة ما. (ar) Το δυναμοσύνολο (power set) ενός συνόλου είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του. Συνήθως συμβολίζεται με . Επίσης συχνά συμβολίζεται 2X. Το δυναμοσύνολο ενός συνόλου με n στοιχεία έχει 2n (το πλήθος) στοιχεία. Ένα υποσύνολο του ονομάζεται συλλογή υποσυνόλων του ή και κλάση από υποσύνολα του . Ωστόσο ο όρος «κλάση» άλλες φορές περιλαμβάνεται στον και έχει αυστηρά ορισμένη σημασία, άλλες φορές χρησιμοποιείται πιο διαισθητικά στη μεταγλώσσα. Μια «κλάση» μπορεί να είναι συλλογή από αντικείμενα που δεν είναι σύνολα. Για παράδειγμα μιλάμε για την κλάση συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες κατά , την κλάση συναρτήσεων που είναι ολοκληρώσιμες κατά Ρίμαν κλπ. Παράδειγμα S = {x, y, z}, υποσύνολα: •{ } •{x} •{y} •{z} •{x, y} •{x, z} •{y, z} •{x, y, z} δυναμοσύνολο του S (el) Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Man notiert die Potenzmenge einer Menge meist als . Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“. (de) En matematiko, aro de ĉiuj subaroj aŭ potencaro de donita aro S, skribata kiel aŭ 2S, estas la aro de ĉiuj subaroj de S. En aksioma aroteorio (kiel ellaborite ekzemple en la ZFC aksiomoj), la ekzisto de la aro de ĉiuj subaroj de ĉiu aro estas postulata per la . Ĉiu subaro F de estas familio de aroj super S. Ekzemple, se S estas la aro {A, B, C} tiam la plena listo de subaroj de S estas: * {} (la malplena aro) * {A} * {B} * {C} * {A, B} * {A, C} * {B, C} * {A, B, C} kaj de ĉi tie la aro de ĉiuj subaroj de S estas = {{}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}} Se S estas finia aro kun |S | =n eroj, tiam la aro de ĉiuj subaroj de S enhavas erojn. Oni povas, kaj en komputiloj reale faras, prezenti la erojn de kiel n-bitajn nombrojn; la n-a bito koncernas la ekziston aŭ foreston de la n-a ero de S. Estas 2n tiaj nombroj.) Binoma koeficiento estas kvanto de n-eraj subaroj en k-era aro. Tiel en la ekzemplo pli supre, , , , . Oni povas ankaŭ konsideri la aron de ĉiuj subaroj de malfiniaj aroj. Diagonala argumento de Cantor montras, ke la aro de ĉiuj subaroj de aro (malfinia ĉu ne) ĉiam havas severe pli altan kardinalon ol la aro mem, neformale la aro de ĉiuj subaroj devas esti 'pli granda' ol la originala aro. La aro de ĉiuj subaroj de aro de naturaj nombroj ekzemple povas esti en reciproke unuvalora surĵeto kun aro de reelaj nombroj. Prezentu subaron de la naturaj nombroj per duuma nombro inter 0 kaj 1 inkluziva. Ekzemple, la aro {1, 3} havas prezenton 0,10100..., kun "1" estas ciferoj kies indeksoj estas en la subaro kaj "0" aliloke. Oni povas tiam sendi ĉi tiun aron (kiu estas [0,1] en la reelaj nombroj) al la tuta reela linio ekzemple per per surĵeto x al . La aro de ĉiuj subaroj de aro S, kaj ankaŭ la operacioj de unio, komunaĵo kaj komplemento formas la ekzemplon de bulea algebro. Fakte, ĉiu finia bulea algebro estas izomorfia al la bulea algebro de la aro de ĉiuj subaroj de finia aro. Por malfiniaj buleaj algebroj ĉi tiu estas jam ne vera, sed ĉiu malfinia bulea algebro estas de aro de ĉiu subara bulea algebro. La aro de ĉiuj subaroj de aro S formas komutan grupon kiam konsiderita kun la operacio de simetria diferenco (kun la malplena aro kiel ĝia unuo kaj ĉiu aro estante ĝia posedi inverso) kaj komuta duongrupo kiam konsiderita kun la operacio de komunaĵo. Ĝi povas de ĉi tie esti montrita (per pruvo de la distribuecaj leĝoj), ke la aro de ĉiuj subaroj konsideritaj kaj ankaŭ ambaŭ de ĉi tiuj operacioj formas komutan ringon. (eo) En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto: el conjunto potencia es: El conjunto potencia de también se denomina conjunto de las partes de , o conjunto de partes de y se denota por , donde es el cardinal de las partes de , es decir, . (es) A multzo baten azpimultzo guztiek osatzen duten multzoari potentzia-multzo edo A multzoaren parteen multzo deritzo, eta , P(A), (A) edo 2A adierazten da. Adibidez, A = {x, y, z} izanik, bere azpimultzoak ∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} eta {x, y, z} dira, eta potentzia-multzoa = {{x, y, z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, ∅}. (eu) En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble, parfois appelé ensemble puissance, désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble. (fr) In mathematics, the power set (or powerset) of a set S is the set of all subsets of S, including the empty set and S itself. In axiomatic set theory (as developed, for example, in the ZFC axioms), the existence of the power set of any set is postulated by the axiom of power set. The powerset of S is variously denoted as P(S), 𝒫(S), P(S), , or 2S. The notation 2S, meaning the set of all functions from S to a given set of two elements (e.g., {0, 1}), is used because the powerset of S can be identified with, equivalent to, or bijective to the set of all the functions from S to the given two elements set. Any subset of P(S) is called a family of sets over S. (en) Dalam matematika, himpunan kuasa (bahasa Inggris: power set) dari himpunan adalah himpunan dari semua subhimpunan yang memuat himpunan kosong dan itu sendiri. Dalam teori himpunan aksiomatik (saat dikembangkan, sebagai contoh, dalam aksioma ), keberadaan himpunan kuasa dari setiap himpunan didalilkan melalui . Notasi dari himpunan kuasa dinyatakan dengan berbagai cara, yaitu: , , , atau . Notasi mengartikan bahwa himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ke himpunan yang mempunyai dua anggota. Penggunaan notasi tersebut dipakai sebab himpunan kuasa dari dapat diidentifikasi dengan, ekuivalen dengan, atau bijektif dengan himpunan dari semua fungsi yang dipetakan dari ke himpunan yang mempunyai dua himpunan anggota. Sebarang subhimpunan dari disebut sebagai atas . (in) 집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. (ko) In matematica, dato un insieme , l'insieme delle parti di , scritto , è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di . Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di o booleano di . Per esempio, se è l'insieme , allora la lista completa dei suoi sottoinsiemi risulta: * (l'insieme vuoto) * * * * * * * che coincide con l'insieme stesso e quindi l'insieme delle parti di è (it) 冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。 集合と呼ぶべき対象を公理的にかつ構成的に与える公理的集合論では、新たに作られた原体の冪集合もしくはそれに準ずる複数の冪集合が、それぞれの連続性に関わらず集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしばし提示する。 (ja) De machtsverzameling van een verzameling , aangegeven door of , is de verzameling van alle deelverzamelingen van . Het symbool staat voor 'power', het Engelse woord voor 'macht'. De definitie is dus: Voorbeeld Zij , dan is een deelverzameling van , evenals , etc. De complete lijst van deelverzamelingen van is: 1. * de lege verzameling 2. * 3. * 4. * 5. * 6. * 7. * 8. * De machtsverzameling is de verzameling van deze deelverzamelingen: Als het aantal elementen is in , dus , dan geldt voor de machtsverzameling: Dit is als volgt in te zien: elk element kan wel of niet tot een deelverzameling behoren. Dat geeft 2×2×2×...×2 mogelijkheden in totaal. De machtsverzameling van een oneindige verzameling kan ook worden gedefinieerd. Het diagonaalbewijs van Cantor toont aan dat de kardinaliteit van de machtsverzameling van een oneindige verzameling altijd strikt groter is dan die van de verzameling zelf. De machtsverzameling is 'oneindiger' dan de oorspronkelijke verzameling. Tussen enerzijds de machtsverzameling van de natuurlijke getallen en anderzijds de reële getallen is een bijectie te vinden. Dit kan met behulp van oneindige rijen van nullen en enen. De twee machtsverzamelingen van twee verzamelingen met dezelfde kardinaliteit hebben ook dezelfde kardinaliteit. De machtsverzameling van de lege verzameling is een singleton, met als enige element de lege verzameling. De machtsverzameling van een verzameling , met daarop de bewerkingen vereniging, doorsnede en complement, vormt het standaardvoorbeeld van een booleaanse algebra. Het is zelfs mogelijk om aan te tonen dat elke eindige booleaanse algebra isomorf is met een booleaanse algebra van een machtsverzameling voor een bepaalde verzameling . Voor oneindige booleaanse algebra's geldt dit niet, maar wel geldt dat elke oneindige booleaanse algebra een deelalgebra van een machtsverzameling van een booleaanse algebra is. Door ieder element van de machtsverzameling te associëren met zijn indicatorfunctie ontstaat een bijectie tussen en , de verzameling van alle functies van naar het paar . Dit verklaart de notatie . De relatie 'is een deelverzameling van' vormt op een machtsverzameling een partiële ordening. Het binomium van Newton somt de kardinaliteit van de deelverzamelingen met elementen van een verzameling van elementen op. Dus is (nl) Potensmängden (en. power set) till en mängd M är mängden av alla delmängder till M inklusive den tomma mängden och mängden M själv. Potensmängden till M skrivs ofta , eller . Om M är en ändlig mängd med | M |
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| rdfs:comment | Donat un conjunt S, es defineix el conjunt de les parts de S o conjunt potència de S, escrit , P(S), ℘(S), o , com el conjunt de tots els subconjunts de S. Per exemple, si S és el conjunt {a, b, c} aleshores la llista completa dels subconjunts de S és: * {Ø} (conjunt buit) * {a} * {b} * {c} * {a,b} * {a,c} * {b,c} * {a,b,c} Per tant, el conjunt de les parts de S serà: Si S és un conjunt finit amb card (S) = n elements, aleshores el conjunt de les parts de S conté card(℘(S))= 2n elements. (ca) Potenční množina množiny (značí se nebo též ), podle některých autorů též booleán , je taková množina, která obsahuje všechny podmnožiny množiny . Formálně vyplývá existence potenční množiny k libovolné množině z axiomu potenční množiny. Každá podmnožina potenční množiny se nazývá systém množin na množině X. (cs) في الرياضيات، مجموعة المجموعات الجزئية (بالإنجليزية: Power set) هي المجموعة المكونة من المجموعات الجزئية لمجموعة ما. (ar) Als Potenzmenge bezeichnet man in der Mengenlehre die Menge aller Teilmengen einer gegebenen Grundmenge. Man notiert die Potenzmenge einer Menge meist als . Das Wesen der Potenzmenge wurde schon von Ernst Zermelo untersucht. Der kompakte Begriff „Potenzmenge“ hingegen – der sich in dem Zusammenhang mit der arithmetischen Potenz anbietet – wurde auch von Gerhard Hessenberg in seinem Lehrbuch von 1906 noch nicht benutzt; er verwendet dafür die Wortverbindung „Menge der Teilmengen“. (de) En matemáticas, el conjunto potencia de un conjunto dado es otro conjunto formado por todos los subconjuntos del conjunto dado. Por ejemplo, dado el conjunto: el conjunto potencia es: El conjunto potencia de también se denomina conjunto de las partes de , o conjunto de partes de y se denota por , donde es el cardinal de las partes de , es decir, . (es) A multzo baten azpimultzo guztiek osatzen duten multzoari potentzia-multzo edo A multzoaren parteen multzo deritzo, eta , P(A), (A) edo 2A adierazten da. Adibidez, A = {x, y, z} izanik, bere azpimultzoak ∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z} eta {x, y, z} dira, eta potentzia-multzoa = {{x, y, z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x}, {y}, {z}, ∅}. (eu) En mathématiques, l'ensemble des parties d'un ensemble, parfois appelé ensemble puissance, désigne l'ensemble des sous-ensembles de cet ensemble. (fr) 집합론에서 멱집합(冪集合, 영어: power set)은 주어진 집합의 모든 부분 집합들로 구성된 집합이다. (ko) In matematica, dato un insieme , l'insieme delle parti di , scritto , è l'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di . Questa collezione di insiemi viene anche detta insieme potenza di o booleano di . Per esempio, se è l'insieme , allora la lista completa dei suoi sottoinsiemi risulta: * (l'insieme vuoto) * * * * * * * che coincide con l'insieme stesso e quindi l'insieme delle parti di è (it) 冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。 集合と呼ぶべき対象を公理的にかつ構成的に与える公理的集合論では、新たに作られた原体の冪集合もしくはそれに準ずる複数の冪集合が、それぞれの連続性に関わらず集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしばし提示する。 (ja) Potensmängden (en. power set) till en mängd M är mängden av alla delmängder till M inklusive den tomma mängden och mängden M själv. Potensmängden till M skrivs ofta , eller . Om M är en ändlig mängd med |M | = n element är antalet delmängder som kan bildas av M lika med | |
| rdfs:label | مجموعة المجموعات الجزئية (ar) Conjunt de les parts (ca) Potenční množina (cs) Potenzmenge (de) Δυναμοσύνολο (el) Aro de ĉiuj subaroj (eo) Conjunto potencia (es) Potentzia-multzo (eu) Himpunan kuasa (in) Ensemble des parties d'un ensemble (fr) Insieme delle parti (it) 멱집합 (ko) 冪集合 (ja) Machtsverzameling (nl) Zbiór potęgowy (pl) Power set (en) Conjunto de partes (pt) Булеан (ru) Potensmängd (sv) Булеан (uk) 冪集 (zh) | ||
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