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In mathematics and functional analysis a direct integral is a generalization of the concept of direct sum. The theory is most developed for direct integrals of Hilbert spaces and direct integrals of von Neumann algebras. The concept was introduced in 1949 by John von Neumann in one of the papers in the series On Rings of Operators. One of von Neumann's goals in this paper was to reduce the classification of (what are now called) von Neumann algebras on separable Hilbert spaces to the classification of so-called factors. Factors are analogous to full matrix algebras over a field, and von Neumann wanted to prove a continuous analogue of the Artin–Wedderburn theorem classifying semi-simple rings. Results on direct integrals can be viewed as generalizations of results about finite-dimensional C*-algebras of matrices; in this case the results are easy to prove directly. The infinite-dimensional case is complicated by measure-theoretic technicalities. Direct integral theory was also used by George Mackey in his analysis of systems of imprimitivity and his general theory of induced representations of locally compact separable groups. (en) Em análise funcional e matemática, uma integral direta é considerada uma generalização do conceito de soma direta. A teoria é em um geral desenvolvida para integrais diretas de espaços de Hilbert e integrais diretas de álgebra de von Neumann. Em 1949, o conceito foi apresentado por John von Neumann em um dos artigos da série "On Rings of Operators" (Em Anéis de Operadores). Um dos objetivos de von Neumann neste artigo era reduzir a classificação das (hoje chamadas) álgebras de von Neumann em espaços de Hilbert separáveis à classificação dos, assim chamados, fatores. Fatores são análogos a álgebras de matriz completa sobre um campo, e von Neumann queria provar um análogo contínuo do teorema de Artin-Wedderburn classificando anéis semi-simples. Em integrais diretas, os resultados podem ser vistos como generalizações de resultados sobre C*-álgebras de dimensão finita de matrizes. Os resultados, neste caso, são fáceis de provar diretamente. No caso de dimensão infinita, é mais complicado. A teoria integral direta foi usada também por George Mackey. Ele a utilizou na análise de sistemas de imprimitividade e também em sua teoria generalizada de representações induzidas de grupos separáveis localmente compactos. (pt) |
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In mathematics and functional analysis a direct integral is a generalization of the concept of direct sum. The theory is most developed for direct integrals of Hilbert spaces and direct integrals of von Neumann algebras. The concept was introduced in 1949 by John von Neumann in one of the papers in the series On Rings of Operators. One of von Neumann's goals in this paper was to reduce the classification of (what are now called) von Neumann algebras on separable Hilbert spaces to the classification of so-called factors. Factors are analogous to full matrix algebras over a field, and von Neumann wanted to prove a continuous analogue of the Artin–Wedderburn theorem classifying semi-simple rings. (en) Em análise funcional e matemática, uma integral direta é considerada uma generalização do conceito de soma direta. A teoria é em um geral desenvolvida para integrais diretas de espaços de Hilbert e integrais diretas de álgebra de von Neumann. Em 1949, o conceito foi apresentado por John von Neumann em um dos artigos da série "On Rings of Operators" (Em Anéis de Operadores). Um dos objetivos de von Neumann neste artigo era reduzir a classificação das (hoje chamadas) álgebras de von Neumann em espaços de Hilbert separáveis à classificação dos, assim chamados, fatores. Fatores são análogos a álgebras de matriz completa sobre um campo, e von Neumann queria provar um análogo contínuo do teorema de Artin-Wedderburn classificando anéis semi-simples. (pt) |
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