Duffing equation (original) (raw)
Der Duffing-Oszillator, benannt nach Georg Duffing, ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators, dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden.Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben: ist die Dämpfung, sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Der Duffing-Oszillator, benannt nach Georg Duffing, ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators, dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden.Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben: ist die Dämpfung, sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren. (de) The Duffing equation (or Duffing oscillator), named after (1861–1944), is a non-linear second-order differential equation used to model certain damped and driven oscillators. The equation is given by where the (unknown) function is the displacement at time is the first derivative of with respect to time, i.e. velocity, and is the second time-derivative of i.e. acceleration. The numbers and are given constants. The equation describes the motion of a damped oscillator with a more complex potential than in simple harmonic motion (which corresponds to the case ); in physical terms, it models, for example, an elastic pendulum whose spring's stiffness does not exactly obey Hooke's law. The Duffing equation is an example of a dynamical system that exhibits chaotic behavior. Moreover, the Duffing system presents in the frequency response the jump resonance phenomenon that is a sort of frequency hysteresis behaviour. (en) L'équation de Duffing (ou oscillateur de Duffing), du nom de (1861–1944), est une équation différentielle non linéaire du second ordre utilisée pour modéliser certains oscillateurs amortis et forcés. L'équation s'écrit qui décrit le déplacement x = x(t) en fonction du temps t. L'équation décrit le mouvement d'un oscillateur amorti avec un potentiel plus complexe qu'un mouvement harmonique simple (cas correspondant à β = δ = 0) ; un modèle physique serait un pendule pesant où la raideur du ressort ne suivrait pas la loi de Hooke. L'équation de Duffing est un exemple de système dynamique simple pouvant présenter un comportement chaotique, comme l'oscillateur de Van der Pol. Plus encore, le système de Duffing présente en réponse fréquentielle le phénomène de résonance de saut qui se rapproche d'un comportement d'hystérésis en fréquence. (fr) 数学におけるダフィング方程式（ダフィングほうていしき、英: Duffing equation）あるいはダフィング振動子（Duffing oscillator）は、ある減衰的な駆動振動子をモデル化するために用いられる非線型の二階常微分方程式である。次の式で与えられる： ここで（未知）函数 x = x(t) は時間 t での位置、 は x の時間に関する一階導函数、すなわち速度で、 は x の時間に関する二階導函数、すなわち加速度である。数 および は与えられた定数である。 この式は、（ の場合に対応する）単振動よりも複雑なポテンシャルを持つ減衰振動子の動きを表す。例えば、物理学の言葉で言うと、ばねの剛性がフックの法則に従わないのモデルと見なされる。 ダフィング方程式は、カオス的挙動を示す力学系の一例である。ジャパニーズ・アトラクタがダフィング方程式におけるカオスの例としてよく知られている。さらにダフィングシステムは、周波数ヒステリシスの挙動のような、跳躍共振現象を周波数反応において示すものである。 (ja) A equação de Duffing é uma equação diferencial ordinária não-linear de segunda ordem que descreve certos osciladores forçados e amortecidos. A equação é enunciada como , em que é a função de deslocamento temporal, é a primeira derivada de com relação ao tempo, isto é, a velocidade, e é a segunda derivada temporal de , isto é, a aceleração. As constantes and são valores conhecidos. Fisicamente, a equação modela um pêndulo elástico, com uma mola cuja deformação não obedece à lei de Hooke. A equação de Duffing é um exemplo de um sistema dinâmico que exibe comportamento caótico. Ademais, quando submetido a resposta em frequência, esse sistema apresenta um fenômeno que pode ser interpretado como uma histerese de frequência. (pt) Осциллятор Дуффинга (англ. Duffing oscillator) — простейшая одномерная нелинейная система. Представляет собой одномерную частицу, движущуюся в потенциале . При система сводится к обычному гармоническому осциллятору. Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность получения хаотической динамики. Уравнение движения для осциллятора Дуффинга имеет вид , где и , соответственно — координата частицы и её масса. Уравнение впервые было изучено немецким инженером в 1918 году. Дискретная его версия известна как отображение Дуффинга. Решение осциллятора Дуффинга выражается через эллиптические функции: . (ru) Рівняння Дуффінга — нелінійне диференціальне рівняння другого порядку, що застосовується для моделювання певних затухаючих і вимушених коливань. Назване на честь німецького винахідника . Рівняння Дуффінга записується в вигляді де * невідома функція x=x(t) — відхилення в момент часу t; * - перша похідна від x по часу, тобто швидкість; * - друга похідна по часу від x, тобто прискорення; * , , , і - задані константи. Рівняння описує затухаючі коливання. (uk) 杜芬振子（英語：Duffing oscillator）是一个描写受驱振动的振动子，由非线性微分方程表示 杜芬方程列式如下： 其中 * γ控制阻尼度 * α控制韧度 * β控制动力的非线性度 * δ驱动力的振幅 * ω驱动力的圆频率 (zh) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Forced_Duffing_equation_Poincaré_section.png?width=300 |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://vestnik.tstu.ru/rus/t_26/pdf/26_1_013.pdf http://scholarpedia.org/article/Duffing_oscillator http://mathworld.wolfram.com/DuffingDifferentialEquation.html |
| dbo:wikiPageID | 2987943 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 17877 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1122078603 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Elastic_pendulum dbr:Time_series dbr:Euler's_method dbr:Derivative dbr:Hooke's_law dbr:Velocity dbr:Spring_(device) dbr:Frequency dbr:Equilibrium_point dbc:Chaotic_maps dbr:Simple_harmonic_motion dbr:Single-valued_function dbr:Stiffness dbr:Subharmonic dbr:Frobenius_method dbr:Harmonic_balance dbr:Harmonic_oscillator dbr:Perturbation_theory dbr:Steady_state dbr:Acceleration dbr:Amplitude dbr:Damping_ratio dbr:Fourier_series dbr:Angular_frequency dbr:Numerical_analysis dbr:Differential_equation dbr:Period-doubling_bifurcation dbr:Potential dbr:Hamiltonian_system dbc:Ordinary_differential_equations dbr:Chaos_theory dbr:Superharmonic dbr:Homotopy_analysis_method dbr:Frequency_response dbr:Hysteresis dbr:Integer dbr:Buckingham_π_theorem dbr:Non-linear dbr:Initial_conditions dbr:Phase_portrait dbr:Runge–Kutta_methods dbr:Jacobi's_elliptic_functions dbr:Undamped dbr:File:Duffing_frequency_response.svg dbr:File:Duffing_oscillator_strange_attractor_with_color.gif dbr:File:Duffing_response_jumps.svg dbr:File:Forced_Duffing_equation_Poincaré_section.png dbr:Georg_Duffing |
| dbp:align | right (en) |
| dbp:caption | chaos at (en) period-1 oscillation at (en) period-2 oscillation at (en) period-4 oscillation at (en) period-5 oscillation at (en) |
| dbp:direction | vertical (en) |
| dbp:header | Time traces and phase portraits (en) |
| dbp:image | Duffing gam0.20 ome1.2 del0.3.svg (en) Duffing gam0.28 ome1.2 del0.3.svg (en) Duffing gam0.29 ome1.2 del0.3.svg (en) Duffing gam0.37 ome1.2 del0.3.svg (en) Duffing gam0.50 ome1.2 del0.3.svg (en) Duffing gam0.65 ome1.2 del0.3.svg (en) |
| dbp:width | 300 (xsd:integer) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Chaos_theory dbt:Citation dbt:Cite_journal dbt:Multiple_image dbt:Pad dbt:Refbegin dbt:Refend dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Use_American_English dbt:Use_mdy_dates |
| dcterms:subject | dbc:Chaotic_maps dbc:Ordinary_differential_equations |
| rdf:type | yago:WikicatOrdinaryDifferentialEquations yago:Abstraction100002137 yago:Communication100033020 yago:DifferentialEquation106670521 yago:Equation106669864 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:Statement106722453 |
| rdfs:comment | Der Duffing-Oszillator, benannt nach Georg Duffing, ist ein nichtlinearer Oszillator. Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators, dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden.Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben: ist die Dämpfung, sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren. (de) 数学におけるダフィング方程式（ダフィングほうていしき、英: Duffing equation）あるいはダフィング振動子（Duffing oscillator）は、ある減衰的な駆動振動子をモデル化するために用いられる非線型の二階常微分方程式である。次の式で与えられる： ここで（未知）函数 x = x(t) は時間 t での位置、 は x の時間に関する一階導函数、すなわち速度で、 は x の時間に関する二階導函数、すなわち加速度である。数 および は与えられた定数である。 この式は、（ の場合に対応する）単振動よりも複雑なポテンシャルを持つ減衰振動子の動きを表す。例えば、物理学の言葉で言うと、ばねの剛性がフックの法則に従わないのモデルと見なされる。 ダフィング方程式は、カオス的挙動を示す力学系の一例である。ジャパニーズ・アトラクタがダフィング方程式におけるカオスの例としてよく知られている。さらにダフィングシステムは、周波数ヒステリシスの挙動のような、跳躍共振現象を周波数反応において示すものである。 (ja) Рівняння Дуффінга — нелінійне диференціальне рівняння другого порядку, що застосовується для моделювання певних затухаючих і вимушених коливань. Назване на честь німецького винахідника . Рівняння Дуффінга записується в вигляді де * невідома функція x=x(t) — відхилення в момент часу t; * - перша похідна від x по часу, тобто швидкість; * - друга похідна по часу від x, тобто прискорення; * , , , і - задані константи. Рівняння описує затухаючі коливання. (uk) 杜芬振子（英語：Duffing oscillator）是一个描写受驱振动的振动子，由非线性微分方程表示 杜芬方程列式如下： 其中 * γ控制阻尼度 * α控制韧度 * β控制动力的非线性度 * δ驱动力的振幅 * ω驱动力的圆频率 (zh) The Duffing equation (or Duffing oscillator), named after (1861–1944), is a non-linear second-order differential equation used to model certain damped and driven oscillators. The equation is given by where the (unknown) function is the displacement at time is the first derivative of with respect to time, i.e. velocity, and is the second time-derivative of i.e. acceleration. The numbers and are given constants. (en) L'équation de Duffing (ou oscillateur de Duffing), du nom de (1861–1944), est une équation différentielle non linéaire du second ordre utilisée pour modéliser certains oscillateurs amortis et forcés. L'équation s'écrit qui décrit le déplacement x = x(t) en fonction du temps t. L'équation décrit le mouvement d'un oscillateur amorti avec un potentiel plus complexe qu'un mouvement harmonique simple (cas correspondant à β = δ = 0) ; un modèle physique serait un pendule pesant où la raideur du ressort ne suivrait pas la loi de Hooke. (fr) Осциллятор Дуффинга (англ. Duffing oscillator) — простейшая одномерная нелинейная система. Представляет собой одномерную частицу, движущуюся в потенциале . При система сводится к обычному гармоническому осциллятору. Особенностью осциллятора Дуффинга является возможность получения хаотической динамики. Уравнение движения для осциллятора Дуффинга имеет вид , где и , соответственно — координата частицы и её масса. Уравнение впервые было изучено немецким инженером в 1918 году. Дискретная его версия известна как отображение Дуффинга. (ru) A equação de Duffing é uma equação diferencial ordinária não-linear de segunda ordem que descreve certos osciladores forçados e amortecidos. A equação é enunciada como , em que é a função de deslocamento temporal, é a primeira derivada de com relação ao tempo, isto é, a velocidade, e é a segunda derivada temporal de , isto é, a aceleração. As constantes and são valores conhecidos. Fisicamente, a equação modela um pêndulo elástico, com uma mola cuja deformação não obedece à lei de Hooke. (pt) |
| rdfs:label | Duffing-Oszillator (de) Duffing equation (en) Oscillateur de Duffing (fr) ダフィング方程式 (ja) Equação de Duffing (pt) Осциллятор Дуффинга (ru) Рівняння Дуффінга (uk) 杜芬振子 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Duffing equation yago-res:Duffing equation wikidata:Duffing equation dbpedia-de:Duffing equation dbpedia-fr:Duffing equation dbpedia-ja:Duffing equation dbpedia-pt:Duffing equation dbpedia-ru:Duffing equation dbpedia-uk:Duffing equation dbpedia-zh:Duffing equation https://global.dbpedia.org/id/4rPqh |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Duffing_equation?oldid=1122078603&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_frequency_response.svg wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_gam0.20_ome1.2_del0.3.svg wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_gam0.28_ome1.2_del0.3.svg wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_gam0.29_ome1.2_del0.3.svg wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_gam0.37_ome1.2_del0.3.svg wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_gam0.50_ome1.2_del0.3.svg wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_gam0.65_ome1.2_del0.3.svg wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_oscillator_strange_attractor_with_color.gif wiki-commons:Special:FilePath/Duffing_response_jumps.svg wiki-commons:Special:FilePath/Forced_Duffing_equation_Poincaré_section.png |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Duffing_equation |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Duffing_Chaos dbr:Duffing_Equation dbr:Methods_for_solving_the_Duffing_equation dbr:Duffing dbr:Duffing_differential_equation dbr:Duffing_oscillator |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_chaotic_maps dbr:Duffing_map dbr:List_of_nonlinear_ordinary_differential_equations dbr:List_of_scientific_equations_named_after_people dbr:Chaos_theory dbr:Duffing_Chaos dbr:Duffing_Equation dbr:Methods_for_solving_the_Duffing_equation dbr:Poincaré–Lindstedt_method dbr:Scientific_phenomena_named_after_people dbr:Multiple-scale_analysis dbr:Nonlinear_resonance dbr:Duffing dbr:Duffing_differential_equation dbr:Duffing_oscillator |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Duffing_equation |
