Buckingham π theorem (original) (raw)
En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu variables sans dimension construites à partir des variables originelles. Bien que nommé d'après les physiciens Aimé Vaschy et Edgar Buckingham, ce théorème a d'abord été démontré par le mathématicien français Joseph Bertrand en 1878.
| Property | Value |
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| dbo:abstract | Buckinghamův teorém je v inženýrství, aplikované matematice a fyzice důležitým nástrojem pro rozměrovou analýzu. Zjednodušeně řečeno teorém tvrdí, že počet proměnných ve fyzikálně smysluplné rovnici je možno redukovat v závislosti na tom, kolik fyzikálních veličin v této rovnici vystupuje pomocí kolika fyzikálních jednotek jsou tyto veličiny vyjádřeny. Po redukci je rovnice vyjádřena pomocí berozměrných veličin označovaných , , atd., což dalo tomuto tvrzení název. Věta poskytuje metodu pro výpočet množin bezrozměrných parametrů z daných proměnných neboli nondimenzionizaci, i když tvar rovnice je stále neznámý. Buckinghamův teorém naznačuje, že platnost fyzikálních zákonů nezávisí na konkrétní jednotkové soustavě. Tvrzení této věty je možno intrrpretovat tak, že jakýkoli fyzikální zákon lze vyjádřit jako identitu zahrnující pouze bezrozměrné kombinace (poměry nebo součiny) proměnných propojených zákonem (například tlak a objem jsou spojeny Boyleovým-Mariottovým zákonem – jsou nepřímo úměrné). (cs) El Teorema de Π (pi) de Vaschy-Buckingham és el teorema fonamental de l'anàlisi dimensional. El teorema estableix que donada una relació física expressable mitjançant una equació en la qual estan involucrades n magnituds físiques o variables, i si aquestes variables s'expressen en termes de k quantitats físiques dimensionalment independents, llavors l'equació original pot escriure equivalentment com una equació amb una sèrie de n - k nombres adimensionals construïts amb les variables originals. Aquest teorema proporciona un mètode de construcció de paràmetres adimensionals, fins i tot quan la forma de l'equació és desconeguda. De tota manera l'elecció de paràmetres adimensionals no és única i el teorema no tria quins tenen significat físic. Si tenim una equació física que reflecteix la relació existent entre les variables que intervenen en un cert problema ha d'existir una funció f tal que: on A i són les n variables o magnituds físiques rellevants, i s'expressen en termes de k unitats físiques independents. Llavors l'anterior equació es pot reescriure com: on són els paràmetres adimensionals construïts de n - k equacions de la forma: on els exponents m i són nombres enters. El nombre de termes adimensionals construïts n - k és igual a la nul·litat de la matriu dimensional on k és el rang de la matriu. La notació de π i com a paràmetres adimensionals va ser introduïda per en el seu article de 1914, d'aquí el nom del teorema. No obstant això, l'autoria del mateix ha d'adscriure , qui el va enunciar el 1892. (ca) Das Buckinghamsche Π-Theorem (sprich: Pi-Theorem) nach Edgar Buckingham (1867–1940) ist ein grundlegendes Theorem der Ähnlichkeitstheorie und der Dimensionsanalyse. Es beschreibt, wie eine physikalisch sinnvolle Gleichung mit n dimensionsbehafteten Größen in eine Gleichung mit n-m dimensionslosen Größen umgeschrieben werden kann, wobei m die Anzahl der verwendeten unabhängigen Grundgrößen ist. Weiterhin ist es durch das Buckinghamsche Π-Theorem möglich, dimensionslose Kennzahlen zu einem Problem aus den Ausgangsgrößen zu ermitteln, auch wenn der exakte Zusammenhang in Form einer Gleichung noch nicht bekannt ist. Offenbar machte Joseph Bertrand bei der Untersuchung von Problemen der Elektrodynamik und der Theorie der Wärmeleitung 1878 erstmals auf den Kerninhalt des Π-Theorems und mögliche Anwendungen zur Modellierung physikalischer Phänomene aufmerksam. Die neuen Methoden der Dimensionsanalyse wurden 1892 besonders bekannt durch Rayleighs Arbeiten zum Druckabfall in einer Rohrleitung mit Anwendung des verallgemeinerten Π-Theorems. Die formalisierte Verallgemeinerung des Π-Theorems auf den Fall einer beliebigen Zahl von physikalischen Größen erfolgte erstmals 1892 durch Aimé Vaschy, dann offenbar unabhängig davon durch A. Federman und Dmitri Pawlowitsch Rjabuschinski 1911 und schließlich 1914 durch Edgar Buckingham. 1926 befasste sich Hermann Weyl mit dem Π-Theorem. (de) In engineering, applied mathematics, and physics, the Buckingham π theorem is a key theorem in dimensional analysis. It is a formalization of Rayleigh's method of dimensional analysis. Loosely, the theorem states that if there is a physically meaningful equation involving a certain number n of physical variables, then the original equation can be rewritten in terms of a set of p = n − k dimensionless parameters π1, π2, ..., πp constructed from the original variables. (Here k is the number of physical dimensions involved; it is obtained as the rank of a particular matrix.) The theorem provides a method for computing sets of dimensionless parameters from the given variables, or nondimensionalization, even if the form of the equation is still unknown. The Buckingham π theorem indicates that validity of the laws of physics does not depend on a specific unit system. A statement of this theorem is that any physical law can be expressed as an identity involving only dimensionless combinations (ratios or products) of the variables linked by the law (for example, pressure and volume are linked by Boyle's law – they are inversely proportional). If the dimensionless combinations' values changed with the systems of units, then the equation would not be an identity, and the theorem would not hold. (en) El teorema Π (pi) de Vaschy-Buckingham es el teorema fundamental del análisis dimensional. El teorema establece que dada una relación física expresable mediante una ecuación en la que están involucradas n magnitudes físicas o variables, y si dichas variables se expresan en términos de k cantidades pertenecientes a las magnitudes fundamentales como longitud, masa o tiempo, entonces la ecuación original puede escribirse equivalentemente como una ecuación con una serie de n - k números adimensionales construidos con las variables originales. Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida, aunque la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no proporciona información sobre cuáles son más adecuados. Por lo tanto, hay una ambivalencia en cuáles son estos nuevos parámetros Π. Además de la construcción de los parámetros adimensionales, este teorema afirma que cualquier ley física es independiente del sistema de unidades en las que se exprese. (es) En mathématiques, le théorème de Vaschy-Buckingham, ou théorème Pi, est un des théorèmes de base de l'analyse dimensionnelle. Ce théorème établit que si une équation physique met en jeu n variables physiques, celles-ci dépendant de k unités fondamentales, alors il existe une équation équivalente mettant en jeu variables sans dimension construites à partir des variables originelles. Bien que nommé d'après les physiciens Aimé Vaschy et Edgar Buckingham, ce théorème a d'abord été démontré par le mathématicien français Joseph Bertrand en 1878. (fr) Il teorema di Buckingham (conosciuto anche come teorema Pi greco), dovuto al fisico statunitense Edgar Buckingham, afferma che dato un processo fisico descritto da una equazione anche indefinita nella sua forma analitica, nella quale compaiano n variabili fisiche, se le grandezze fondamentali (cioè indipendenti tra loro e in numero sufficiente a descrivere compiutamente lo spazio dimensionale di interesse) di queste n variabili sono k (ad esempio, massa, lunghezza, tempo in un problema puramente meccanico), allora il problema può essere espresso in funzione di n-k gruppi adimensionali. Se, per esempio, il problema in esame dipende da cinque grandezze le quali, a loro volta, hanno come unità di misura una certa combinazione delle tre grandezze fondamentali del sistema internazionale (M - L - T), allora questo può essere descritto da una funzione f di due gruppi adimensionali P1 e P2. E inoltre vale la seguente importante conclusione: . In questo modo è possibile studiare un fenomeno, come per esempio la sedimentazione di particelle di un soluto all'interno di un corpo recettore, con un solo grafico avente come ascissa e ordinata due grandezze numeriche (rispettivamente i cosiddetti numero di Reynolds e il coefficiente di resistenza fluidodinamica). (it) Het Buckingham-π-theorema is een stelling uit de dimensieanalyse die stelt dat een natuurkundige vergelijking met variabelen geschreven kan worden als een vergelijking met dimensieloze grootheden. Hierbij is het aantal fundamentele dimensies (lengte, massa, tijd en dergelijke). Als de natuurkundige variabelen worden gegeven door en er een vergelijking geldt: , dan kan deze herschreven worden tot een vergelijking , waarin de dimensieloze grootheden gegeven worden door: , met rationale getallen. Het gebruik van de symbolen als dimensieloze parameters werd geïntroduceerd door in een artikel uit 1914. (nl) Twierdzenie Buckinghama znane też jako twierdzenie pi (twierdzenie Π) jest kluczowym prawem stosowanym w analizie wymiarowej. Twierdzenie wprowadził E. Buckingham w 1914 roku. Stwierdza ono, że: jeżeli mamy jakieś równanie opisane przez pewną liczbę niezależnych parametrów fizycznych (n) to równanie to możemy wyrazić przy pomocy modułów bezwymiarowych, których liczba równa jest liczbie tych parametrów fizycznych pomniejszonych o wymiary podstawowe. Jeżeli mamy równanie będące funkcją n parametrów niezależnych to możemy je zapisać w postaci: gdzie są zmiennymi niezależnymi. Możemy je zapisać w postaci funkcji modułów bezwymiarowych: gdzie są modułami bezwymiarowymi. Jeżeli liczbę modułów bezwymiarowych oznaczymy m, a liczbę wymiarów podstawowych r to liczba modułów bezwymiarowych równa się m = n – r. Każdy taki moduł może być przedstawiony w postaci: gdzie – stałe. (pl) O teorema π de Vaschy-Buckingham é um teorema central na análise dimensional. Estabelece que, se em uma equação física envolvendo um certo número n de variáveis físicas dimensionais, sendo que estas variáveis são representadas por r dimensões físicas fundamentais independentes, a equação do processo ou sistema físico pode ser re-escrita como uma equação de p = n - r variáveis adimensionais (parâmetros π), construídas a partir das variáveis originais. Isso provê um método para calcular conjuntos de parâmetros adimensionais a partir das variáveis dimensionais dadas, mesmo se a forma da equação do sistema ou processo físico é ainda desconhecida. Encontrar parâmetros adimensionais em um problema pode simplificá-lo e até mesmo resolvê-lo. Este teorema, hoje conhecido como "teorema π", foi pela primeira vez enunciado por , em 1892, no artigo "Sobre as leis da semelhança em física". Vinte e dois anos após o enunciado, foi publicado em 1914 o famoso artigo de : "Sobre sistemas fisicamente semelhantes: ilustrações do uso de equações dimensionais".Teorema dos π de BuckinghamDado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo:q1 = f(q2, q3, ... qn)onde:q1: variável dependente;f(...): relação funcional (desconhecida);(q2,q3,...,qn): variáveis independentes;ou também: g(q1, q2, ... qn)= 0 O teorema π estabelece que:Dada uma relação entre n variáveis da forma:g(q1, q2, ... qn)= 0 estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais independentes, ou parâmetros π, expressados sob a forma funcional :G (π1, π2, ..., πn-m) = 0O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas independentes (M, L, t, etc.) necessárias para especificar as dimensões das variáveis q1, q2, q3, ... qn.Determinação dos grupos π (6 passos)1º Passo – Liste todos os parâmetros envolvidosSe nem todos os parâmetros pertinentes forem incluídos, uma relação será obtidas, mas não fornecerá a história completa.2º Passo – Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias)P.ex. M, L, t3º Passo – Liste as dimensões de todos os parâmetros os parâmetros em termos das dimensões primárias4º Passo – Selecione da lista um número de parâmetros que se repetem, igual ao número de dimensões primárias, e incluindo todas as dimensões primárias5º Passo – Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo 4 com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais (Haverá n-m equações)6º Passo – Verifique, a fim de assegurar que cada grupo obtido é adimensional. (pt) Пі-теорема Букінгема — це ключова теорема в аналізі розмірностей. Це формалізація . Вільно кажучи, теорема стверджує, що якщо рівняння включає певну кількість n фізичних змінних, тоді початкове рівняння можна переписати за допомогою множини з p = n - k безрозмірнісних параметрів π1, π2, ..., πp сконструйованих з початкових змінних. (Тут k — це кількість залучених фізичних розмірностей; її обчислюють як ранг спеціальної матриці.) Теорему можна розглядати як схему знерозмірнення, бо вона надає метод для обчислення множини безромірнісних параметрів з заданих змінних, навіть якщо форма рівняння все ще невідома. (uk) Пи-теорема (-теорема, -теорема) — основополагающая теорема анализа размерностей. Теорема утверждает, что если имеется зависимость между физическими величинами, не меняющая своего вида при изменении масштабов единиц в некотором классе систем единиц, то она эквивалентна зависимости между, вообще говоря, меньшим числом безразмерных величин, где — наибольшее число величин с независимыми размерностями среди исходных величин. Пи-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен. (ru) 白金汉π定理是因次分析中的重要定理，在工程、應用數學及物理中都會用到。白金汉π定理可以視為是形式化的。簡單的說，白金汉π定理指出若有一個物理上有意義的方程，其中有n個物理量，而這些物理量共有k個獨立的因次，則原方程式可以寫成由p = n − k 個無因次的參數π1, π2, ..., πp 組成的方程式（此處的k可以用特定矩陣的秩而得），而這些無因次的參數是由原方程式中的物理量所組成。 白金汉π定理可以視為是一種無因次化的框架，其中提供方法，從已知的物理量中找到一組無因次的參數，甚至此時方程式的具體形式還不清楚也沒有關係。 例如在流體中運動的物體，其阻力方程中包括以下五個物理量：速度 u、流體密度 ρ、動黏滯係數 ν、 物體截面大小A以及阻力 FD f1(u, ρ, ν, A, FD)= 0， 利用白金漢π定理，可以將阻力方程簡化為由阻力係數 CD及雷諾數 Re組成的方程 f2(CD, Re)= 0， 而這二個物理量是由上述物理量組合而成。 (zh) |
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Пи-теорема позволяет установить общую структуру зависимости, вытекающую только лишь из требования инвариантности физической зависимости при изменении масштабов единиц, даже если конкретный вид зависимости между исходными величинами неизвестен. (ru) 白金汉π定理是因次分析中的重要定理，在工程、應用數學及物理中都會用到。白金汉π定理可以視為是形式化的。簡單的說，白金汉π定理指出若有一個物理上有意義的方程，其中有n個物理量，而這些物理量共有k個獨立的因次，則原方程式可以寫成由p = n − k 個無因次的參數π1, π2, ..., πp 組成的方程式（此處的k可以用特定矩陣的秩而得），而這些無因次的參數是由原方程式中的物理量所組成。 白金汉π定理可以視為是一種無因次化的框架，其中提供方法，從已知的物理量中找到一組無因次的參數，甚至此時方程式的具體形式還不清楚也沒有關係。 例如在流體中運動的物體，其阻力方程中包括以下五個物理量：速度 u、流體密度 ρ、動黏滯係數 ν、 物體截面大小A以及阻力 FD f1(u, ρ, ν, A, FD)= 0， 利用白金漢π定理，可以將阻力方程簡化為由阻力係數 CD及雷諾數 Re組成的方程 f2(CD, Re)= 0， 而這二個物理量是由上述物理量組合而成。 (zh) El Teorema de Π (pi) de Vaschy-Buckingham és el teorema fonamental de l'anàlisi dimensional. El teorema estableix que donada una relació física expressable mitjançant una equació en la qual estan involucrades n magnituds físiques o variables, i si aquestes variables s'expressen en termes de k quantitats físiques dimensionalment independents, llavors l'equació original pot escriure equivalentment com una equació amb una sèrie de n - k nombres adimensionals construïts amb les variables originals. on són els paràmetres adimensionals construïts de n - k equacions de la forma: (ca) Buckinghamův teorém je v inženýrství, aplikované matematice a fyzice důležitým nástrojem pro rozměrovou analýzu. Zjednodušeně řečeno teorém tvrdí, že počet proměnných ve fyzikálně smysluplné rovnici je možno redukovat v závislosti na tom, kolik fyzikálních veličin v této rovnici vystupuje pomocí kolika fyzikálních jednotek jsou tyto veličiny vyjádřeny. Po redukci je rovnice vyjádřena pomocí berozměrných veličin označovaných , , atd., což dalo tomuto tvrzení název. 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(es) Il teorema di Buckingham (conosciuto anche come teorema Pi greco), dovuto al fisico statunitense Edgar Buckingham, afferma che dato un processo fisico descritto da una equazione anche indefinita nella sua forma analitica, nella quale compaiano n variabili fisiche, se le grandezze fondamentali (cioè indipendenti tra loro e in numero sufficiente a descrivere compiutamente lo spazio dimensionale di interesse) di queste n variabili sono k (ad esempio, massa, lunghezza, tempo in un problema puramente meccanico), allora il problema può essere espresso in funzione di n-k gruppi adimensionali. (it) Het Buckingham-π-theorema is een stelling uit de dimensieanalyse die stelt dat een natuurkundige vergelijking met variabelen geschreven kan worden als een vergelijking met dimensieloze grootheden. Hierbij is het aantal fundamentele dimensies (lengte, massa, tijd en dergelijke). 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Estabelece que, se em uma equação física envolvendo um certo número n de variáveis físicas dimensionais, sendo que estas variáveis são representadas por r dimensões físicas fundamentais independentes, a equação do processo ou sistema físico pode ser re-escrita como uma equação de p = n - r variáveis adimensionais (parâmetros π), construídas a partir das variáveis originais. Encontrar parâmetros adimensionais em um problema pode simplificá-lo e até mesmo resolvê-lo. (pt) Пі-теорема Букінгема — це ключова теорема в аналізі розмірностей. Це формалізація . Вільно кажучи, теорема стверджує, що якщо рівняння включає певну кількість n фізичних змінних, тоді початкове рівняння можна переписати за допомогою множини з p = n - k безрозмірнісних параметрів π1, π2, ..., πp сконструйованих з початкових змінних. (Тут k — це кількість залучених фізичних розмірностей; її обчислюють як ранг спеціальної матриці.) (uk) |
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