Multivalued function (original) (raw)
En matemàtiques, una funció multivaluada és una relació total; és a dir, a cada valor de la variable independent se li associa un o més valors de la variable dependent. Estrictament parlant, una funció "ben definida" associa un i només un valor de la variable dependent a cada valor de la variable independent. L'expressió "funció multivaluada" és, per tant, confosa: les autèntiques funcions són univaluades. Ara bé, una funció multivaluada de A a B es pot representar com una funció univaluada de A al conjunt dels subconjunts no buits de B.
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| dbo:abstract | En matemàtiques, una funció multivaluada és una relació total; és a dir, a cada valor de la variable independent se li associa un o més valors de la variable dependent. Estrictament parlant, una funció "ben definida" associa un i només un valor de la variable dependent a cada valor de la variable independent. L'expressió "funció multivaluada" és, per tant, confosa: les autèntiques funcions són univaluades. Ara bé, una funció multivaluada de A a B es pot representar com una funció univaluada de A al conjunt dels subconjunts no buits de B. (ca) في الرياضيات، دالة متعددة القيم أو دالة مجموعية القيم أو الدالة المتعددة هي علاقة ثنائية أيا كانت، تسمى مجازًا بالدالة لأنها غير دالية: تطبيق الذي يرفق عنصر من المنطلق بعنصر واحد من المستقر أو أكثر. ومع ذلك يمكننا أن نرى الدالة المتعددة كدالة كلاسيكية تأخذ قيمها في مجموعة أجزاء المجموعة الثانية. في المقابل، إذا كانت صورة كل نقطة هي مجموعة أحادية، فإننا نقول إن المقابلات لا لبس فيها. مثال بسيط للدالة متعددة القيم هو الدالة عكسية لتطبيق غير متباين: عند أي نقطة في صورتها، نقابل الصورة العكسية المكونة من سوابق بهذه النقطة. (ar) Eine mengenwertige Abbildung (auch mengenwertige Funktion genannt) ist eine spezielle Abbildung in der Mathematik, bei der die Elemente des Zielraumes Mengen sind. Sie finden beispielsweise Anwendung in der Spieltheorie und in der Statistik. Als Mengenfunktion bezeichnet man im Gegensatz dazu meist eine Funktion, deren Definitionsmenge ein Mengensystem ist. (de) En matemáticas, una función multivaluada entre X e Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y de manera que a un elemento de X le pueden corresponder uno o más elementos de Y , en contradicción con la definición de función. Tomamos la definición del término correspondencia de la versión inglesa de este artículo. La función multivaluada tendrá un dominio sobre el que será total a izquierdas y un codominio o rango o imagen sobre el que será total a derechas. El concepto de "función multivaluada" se puede evitar teniendo en cuenta que una función multivaluada entre e se puede considerar como una función entre y ya que los elementos de son todos los subconjuntos de , aunque esta consideración desvirtúa los conceptos. Obsérvese que una función multivaluada no es una función, sin embargo, una función sí es una función multivaluada. (es) In mathematics, a multivalued function, also called multifunction, many-valued function, set-valued function, is similar to a function, but may associate several values to each input. More precisely, a multivalued function from a domain X to a codomain Y associates each x in X to one or more values y in Y; it is thus a serial binary relation. Some authors allow a multivalued function to have no value for some inputs (in this case a multivalued function is simply a binary relation). However, in some contexts such as in complex analysis (X = Y = C), authors prefer to mimic function theory as they extend concepts of the ordinary (single-valued) functions. In this context, an ordinary function is often called a single-valued function to avoid confusion. The term multivalued function originated in complex analysis, from analytic continuation. It often occurs that one knows the value of a complex analytic function in some neighbourhood of a point . This is the case for functions defined by the implicit function theorem or by a Taylor series around . In such a situation, one may extend the domain of the single-valued function along curves in the complex plane starting at . In doing so, one finds that the value of the extended function at a point depends on the chosen curve from to ; since none of the new values is more natural than the others, all of them are incorporated into a multivalued function. For example, let be the usual square root function on positive real numbers. One may extend its domain to a neighbourhood of in the complex plane, and then further along curves starting at , so that the values along a given curve vary continuously from . Extending to negative real numbers, one gets two opposite values for the square root—for example ±i for –1—depending on whether the domain has been extended through the upper or the lower half of the complex plane. This phenomenon is very frequent, occurring for nth roots, logarithms, and inverse trigonometric functions. To define a single-valued function from a complex multivalued function, one may distinguish one of the multiple values as the principal value, producing a single-valued function on the whole plane which is discontinuous along certain boundary curves. Alternatively, dealing with the multivalued function allows having something that is everywhere continuous, at the cost of possible value changes when one follows a closed path (monodromy). These problems are resolved in the theory of Riemann surfaces: to consider a multivalued function as an ordinary function without discarding any values, one multiplies the domain into a many-layered covering space, a manifold which is the Riemann surface associated to . (en) En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée correspondance, fonction multiforme, fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation binaire quelconque, improprement appelée fonction car non fonctionnelle : à chaque élément d'un ensemble elle associe, non pas au plus un élément mais possiblement zéro, un ou plusieurs éléments d'un second ensemble. On peut néanmoins voir une multifonction comme une fonction classique prenant ses valeurs dans l'ensemble des parties du second ensemble. Par contraste, si l'image de chaque point est un singleton, on dit que la correspondance est univoque. Un exemple simple de fonction multivaluée est la fonction réciproque d'une application non injective : à tout point dans son image on fait correspondre l'image réciproque formée des antécédents de ce point. Les fonctions multivaluées apparaissent en analyse complexe où l'on peut en considérer des déterminations, c'est-à-dire des restrictions sur ces relations qui en font des fonctions et qui permettent de calculer certaines intégrales réelles par le biais du théorème des résidus comme ce sera illustré plus bas ; l'utilisation en est cependant malaisée et a été remplacée par la considération plus abstraite de fonctions (univaluées) sur des surfaces de Riemann. Les multifonctions se rencontrent également en analyse convexe et : les cônes tangent et normal à un ensemble, le sous-différentiel d'une fonction, un processus convexe sont des multifonctions. Cette observation et d'autres ont donné une nouvelle impulsion au développement de l'analyse multifonctionnelle (voir la ). (fr) 多価関数（たかかんすう、英: multivalued function）とは、全域的な関係のひとつであり、一つの入力が与えられたときに一つあるいは複数の出力を得るものである。しかし現代的な定義での関数は写像の一種とみなされ、一つの入力があるときに出力を一つだけ得るものと定義されることが多く、この場合には多価関数を「関数」と呼ぶのは不適切となる（下記多価関数#歴史的経緯参照）。多価関数は単射でない関数から得ることができる。そのような関数では逆関数が定義できないが、逆関係 (inverse relation) はある。多価関数は、この逆関係に相当する。 (ja) 수학에서 다가 함수(多價函數, 영어: multivalued function)는 함수 y=f(x)의 y값과 변수 x값의 이항관계에 대해 y값이 변수 x값에 두개 이상 대응하는 형태를 말한다. 본래 명확히 정의된 함수는 y = f(x)에서 y값이 변수 x의 값에 단 한개만 대응하며 특별한 제한이 없는 함수를 말한다. 이런 점에서 엄격하게 다가함수는 함수로 취급하기에 적절하지 않다. 다가함수는 단사함수가 아닌 함수의 역함수를 유도할 때 발생한다. 역함수를 가지고 있지 않는 함수는 는 만족한다. 다가함수는 역함수 관계를 만족시기 적절하며 함수로 취급하면 편리한 경우가 많으므로 통상 '함수'라는 표현을 사용한다. (ko) In matematica, una funzione polidroma (o funzione multivoca o multifunzione) è una relazione simile per alcuni aspetti a una funzione (in cui a ogni elemento del dominio è associato esattamente un elemento del codominio) ma che a differenza di quest'ultima può avere più valori, cioè a ogni elemento del dominio è associato almeno un elemento del codominio. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in analisi complessa. (it) Em matemática, uma função multivalorada (forma abreviada: multifunção; outros nomes: função polivalente, função de conjunto valorizado, mapa de conjunto valorizado, mapa ponto para conjunto, mapa multi-valorada, multi-mapa, correspondência, portadora, multívoca, polídroma, multiaplicação) é uma relação binária (isto é, cada entrada é associada com pelo menos uma saída) em que pelo menos uma entrada é associada a várias (duas ou mais) saídas. Note que uma relação binária é uma função multivalorada se e somente se é uma relação total. Note também que toda função é multivalorada. Outra forma de entender este conceito é como uma função que toma vários valores em B para cada ponto de A. Uma função multivalorada de A em B pode ser representada por uma função de A no conjunto de partes de B, isto é, cada elemento de A é associado a um subconjunto não vazio de B. No exemplo abaixo, a função representa os elementos do codomínio aos quais cada elemento do domínio é relacionado pela multifunção . Toda valoração de será um conjunto não-nulo. (pt) Multifunkcja lub funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony, pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji. (pl) En flervärd funktion är inom matematiken en funktionsliknande relation där varje element i definitionsmängden är med ett eller flera utvärden. En envärd funktion har till skillnad från en flervärd funktion garanterat endast ett associerat utvärde för varje element i definitionsmängden, och är därför en funktion i egentlig mening. Flervärda funktioner delar många egenskaper med envärda funktioner, och uppfattas därför ofta som "funktioner i generaliserad mening". De uppträder naturligt i analysen som "substitut" för funktionsinverser till funktioner som inte är injektiva, och därför inte inverterbara i egentlig mening. Exempelvis är de trigonometriska funktionerna inte injektiva, utan upprepar i stället sina funktionsvärden med en viss periodicitet. Därför definieras ibland de cyklometriska funktionerna just som flervärda funktioner. I denna tolkning har exempelvis arctan 1 inte bara värdet π/4 (= 45°), utan samtidigt också alla andra vinklar θ med tan θ = 1 som värden. Ett annat exempel på en flervärd funktion är den komplexa logaritmen (som har oändligt många utvärden för varje tal i definitionsmängden), vars invers är ex. (sv) Многозна́чная фу́нкция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента. (ru) 多值函数（英語：multivalued function, multifunction）為一數學名詞，是一種二元关系。其中，定义域中的每一个元素都对应陪域中的至少一个元素。 此名词来源于复分析，例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许的元素对应多于一个中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为单值函数。 有些多值函数拥有主分支，而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值（principal value）。 (zh) Багатозна́чна фу́нкція — узагальнення поняття функції, що допускає наявність декількох значень функції для одного аргументу. (uk) |
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(ca) في الرياضيات، دالة متعددة القيم أو دالة مجموعية القيم أو الدالة المتعددة هي علاقة ثنائية أيا كانت، تسمى مجازًا بالدالة لأنها غير دالية: تطبيق الذي يرفق عنصر من المنطلق بعنصر واحد من المستقر أو أكثر. ومع ذلك يمكننا أن نرى الدالة المتعددة كدالة كلاسيكية تأخذ قيمها في مجموعة أجزاء المجموعة الثانية. في المقابل، إذا كانت صورة كل نقطة هي مجموعة أحادية، فإننا نقول إن المقابلات لا لبس فيها. مثال بسيط للدالة متعددة القيم هو الدالة عكسية لتطبيق غير متباين: عند أي نقطة في صورتها، نقابل الصورة العكسية المكونة من سوابق بهذه النقطة. (ar) Eine mengenwertige Abbildung (auch mengenwertige Funktion genannt) ist eine spezielle Abbildung in der Mathematik, bei der die Elemente des Zielraumes Mengen sind. Sie finden beispielsweise Anwendung in der Spieltheorie und in der Statistik. Als Mengenfunktion bezeichnet man im Gegensatz dazu meist eine Funktion, deren Definitionsmenge ein Mengensystem ist. (de) 多価関数（たかかんすう、英: multivalued function）とは、全域的な関係のひとつであり、一つの入力が与えられたときに一つあるいは複数の出力を得るものである。しかし現代的な定義での関数は写像の一種とみなされ、一つの入力があるときに出力を一つだけ得るものと定義されることが多く、この場合には多価関数を「関数」と呼ぶのは不適切となる（下記多価関数#歴史的経緯参照）。多価関数は単射でない関数から得ることができる。そのような関数では逆関数が定義できないが、逆関係 (inverse relation) はある。多価関数は、この逆関係に相当する。 (ja) 수학에서 다가 함수(多價函數, 영어: multivalued function)는 함수 y=f(x)의 y값과 변수 x값의 이항관계에 대해 y값이 변수 x값에 두개 이상 대응하는 형태를 말한다. 본래 명확히 정의된 함수는 y = f(x)에서 y값이 변수 x의 값에 단 한개만 대응하며 특별한 제한이 없는 함수를 말한다. 이런 점에서 엄격하게 다가함수는 함수로 취급하기에 적절하지 않다. 다가함수는 단사함수가 아닌 함수의 역함수를 유도할 때 발생한다. 역함수를 가지고 있지 않는 함수는 는 만족한다. 다가함수는 역함수 관계를 만족시기 적절하며 함수로 취급하면 편리한 경우가 많으므로 통상 '함수'라는 표현을 사용한다. (ko) In matematica, una funzione polidroma (o funzione multivoca o multifunzione) è una relazione simile per alcuni aspetti a una funzione (in cui a ogni elemento del dominio è associato esattamente un elemento del codominio) ma che a differenza di quest'ultima può avere più valori, cioè a ogni elemento del dominio è associato almeno un elemento del codominio. Le funzioni polidrome sono usate soprattutto in analisi complessa. (it) Multifunkcja lub funkcja wielowartościowa – uogólnienie pojęcia funkcji poprzez dopuszczenie przyporządkowania każdemu elementowi dziedziny więcej niż jednego elementu przeciwdziedziny. Z drugiej strony, pojęcie to definiuje się jako szczególny przypadek pewnego rodzaju funkcji. (pl) Многозна́чная фу́нкция — обобщение понятия функции, допускающее наличие нескольких значений функции для одного аргумента. (ru) 多值函数（英語：multivalued function, multifunction）為一數學名詞，是一種二元关系。其中，定义域中的每一个元素都对应陪域中的至少一个元素。 此名词来源于复分析，例如复对数函数便是其中一例。函数原本的定义中不允许的元素对应多于一个中的元素；但复分析中，为了作区分，将原来定义的函数称为单值函数。 有些多值函数拥有主分支，而使得多值函数可以转化为单值函数。此时该单值函数的值称为主值（principal value）。 (zh) Багатозна́чна фу́нкція — узагальнення поняття функції, що допускає наявність декількох значень функції для одного аргументу. (uk) En matemáticas, una función multivaluada entre X e Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y de manera que a un elemento de X le pueden corresponder uno o más elementos de Y , en contradicción con la definición de función. Tomamos la definición del término correspondencia de la versión inglesa de este artículo. La función multivaluada tendrá un dominio sobre el que será total a izquierdas y un codominio o rango o imagen sobre el que será total a derechas. Obsérvese que una función multivaluada no es una función, sin embargo, una función sí es una función multivaluada. (es) In mathematics, a multivalued function, also called multifunction, many-valued function, set-valued function, is similar to a function, but may associate several values to each input. More precisely, a multivalued function from a domain X to a codomain Y associates each x in X to one or more values y in Y; it is thus a serial binary relation. Some authors allow a multivalued function to have no value for some inputs (in this case a multivalued function is simply a binary relation). (en) En mathématiques, une fonction multivaluée (aussi appelée correspondance, fonction multiforme, fonction multivoque ou simplement multifonction) est une relation binaire quelconque, improprement appelée fonction car non fonctionnelle : à chaque élément d'un ensemble elle associe, non pas au plus un élément mais possiblement zéro, un ou plusieurs éléments d'un second ensemble. On peut néanmoins voir une multifonction comme une fonction classique prenant ses valeurs dans l'ensemble des parties du second ensemble. Par contraste, si l'image de chaque point est un singleton, on dit que la correspondance est univoque. (fr) Em matemática, uma função multivalorada (forma abreviada: multifunção; outros nomes: função polivalente, função de conjunto valorizado, mapa de conjunto valorizado, mapa ponto para conjunto, mapa multi-valorada, multi-mapa, correspondência, portadora, multívoca, polídroma, multiaplicação) é uma relação binária (isto é, cada entrada é associada com pelo menos uma saída) em que pelo menos uma entrada é associada a várias (duas ou mais) saídas. Note que uma relação binária é uma função multivalorada se e somente se é uma relação total. Note também que toda função é multivalorada. (pt) En flervärd funktion är inom matematiken en funktionsliknande relation där varje element i definitionsmängden är med ett eller flera utvärden. En envärd funktion har till skillnad från en flervärd funktion garanterat endast ett associerat utvärde för varje element i definitionsmängden, och är därför en funktion i egentlig mening. (sv) |
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