Fixed-point theorems in infinite-dimensional spaces (original) (raw)
In mathematics, a number of fixed-point theorems in infinite-dimensional spaces generalise the Brouwer fixed-point theorem. They have applications, for example, to the proof of existence theorems for partial differential equations. Schauder fixed-point theorem: Let C be a nonempty closed convex subset of a Banach space V. If f : C → C is continuous with a compact image, then f has a fixed point. Tikhonov (Tychonoff) fixed-point theorem: Let V be a locally convex topological vector space. For any nonempty compact convex set X in V, any continuous function f : X → X has a fixed point.
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| dbo:abstract | In mathematics, a number of fixed-point theorems in infinite-dimensional spaces generalise the Brouwer fixed-point theorem. They have applications, for example, to the proof of existence theorems for partial differential equations. The first result in the field was the Schauder fixed-point theorem, proved in 1930 by Juliusz Schauder (a previous result in a different vein, the Banach fixed-point theorem for contraction mappings in complete metric spaces was proved in 1922). Quite a number of further results followed. One way in which fixed-point theorems of this kind have had a larger influence on mathematics as a whole has been that one approach is to try to carry over methods of algebraic topology, first proved for finite simplicial complexes, to spaces of infinite dimension. For example, the research of Jean Leray who founded sheaf theory came out of efforts to extend Schauder's work. Schauder fixed-point theorem: Let C be a nonempty closed convex subset of a Banach space V. If f : C → C is continuous with a compact image, then f has a fixed point. Tikhonov (Tychonoff) fixed-point theorem: Let V be a locally convex topological vector space. For any nonempty compact convex set X in V, any continuous function f : X → X has a fixed point. Browder fixed-point theorem: Let K be a nonempty closed bounded convex set in a uniformly convex Banach space. Then any non-expansive function f : K → K has a fixed point. (A function is called non-expansive if for each and .) Other results include the Markov–Kakutani fixed-point theorem (1936-1938) and the Ryll-Nardzewski fixed-point theorem (1967) for continuous affine self-mappings of compact convex sets, as well as the Earle–Hamilton fixed-point theorem (1968) for holomorphic self-mappings of open domains. Kakutani fixed-point theorem: Every correspondence that maps a compact convex subset of a locally convex space into itself with a closed graph and convex nonempty images has a fixed point. (en) 数学において、ブラウワーの不動点定理の一般化である無限次元空間における不動点定理（むげんじげんくうかんにおけるふどうてんていり、英: Fixed-point theorems in infinite-dimensional spaces）は数多く存在する。それらは例えば、偏微分方程式の解に対する存在定理の証明に応用される。 この分野における第一の結果は、1930年にによって証明されたシャウダーの不動点定理である（別の流派におけるそれ以前の結果として、1922年に証明された完備距離空間における縮小写像に対するバナッハの不動点定理がある）。これ以降、多くの結果が証明された。この種の不動点定理が数学の分野全体に多大な影響を持つこととなった一つの理由は、有限の単体的複体に対してはじめに証明される代数的位相幾何学の手法を、無限次元の空間に対して拡張することの出来る手法の存在であった。例えば、層論を発見したジャン・ルレイの研究は、シャウダーの業績を拡張することから始まった。 シャウダーの不動点定理: C を、バナッハ空間 V の空でない閉凸部分集合とする。f : C → C がコンパクトな像を持つ連続函数であるなら、f は不動点を持つ。 チホノフの不動点定理: V を局所凸位相ベクトル空間とし、V 内の空でない任意のコンパクト凸集合 X に対して、任意の函数 f : X → X は不動点を持つ。 その他の結果として、マルコフ＝角谷の不動点定理（1936-1938）や、コンパクト凸集合の連続自己アフィン写像に対するリル＝ナウゼウスキの不動点定理（1967）、開領域の正則自己写像に対する（1968）などがある。 角谷の不動点定理: 局所凸空間のコンパクトな凸部分集合からそれ自身への写像で、像が閉グラフかつ凸で空でないようなすべての対応は、不動点を持つ。 (ja) |
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