Hilbert's fifth problem (original) (raw)
Le cinquième problème de Hilbert fait partie de la liste des vingt-trois problèmes posés par David Hilbert en 1900, et concerne la caractérisation des groupes de Lie. Il s'agissait (dans un langage moderne et en interprétant la question, puisqu'à l'époque la notion précise de variété différentielle n'existait pas) de démontrer que dans la définition d'un groupe de Lie, la condition de différentiabilité est redondante. Cette conjecture était plausible (les groupes classiques, exemples centraux de la théorie des groupes de Lie, sont des variétés lisses) et finit par être confirmée au début des années 1950.
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| dbo:abstract | La kvina hilberta problemo, aŭ en aliaj vortoj problemo numero 5 el la Hilbert-a listo de problemoj promulgita en 1900 de Davido Hilberto, koncernas la karakterizadon de grupoj de Lie. Formulaĵo, kiu estis akceptita dum longa periodo, estis, ke la demando estis karakterizi grupojn de Lie kiel la , kiuj estas ankaŭ topologiaj sternaĵoj. En terminoj pli proksimaj al tiuj, kiujn Hilberto mem devus uzi, ĉirkaŭ la identa ero e de la koncernata grupo G, oni havas iun malfermitan aron U en Eŭklida spaco enhavanta e-on, kaj sur iu malfermita subaro V de U oni havas kontinuan bildigon F:V × V → U kiu kontentigas la grupajn aksiomojn, kie tiuj estas difinitaj. Ĉi-tio estas parto de tipa loke eŭklida topologia grupo. La problemo estas tiam montri, ke F estas proksime al e (ĉar topologiaj grupoj estas , ili ĉie aspektas same kiel proksime al e). (eo) El quinto problema de Hilbert (uno de los conocidos como veintitrés Problemas de Hilbert, publicados en 1900 por el matemático alemán David Hilbert), se refiere a la caracterización de Grupo de Lie. La teoría de los grupos de Lie describe la en matemáticas; su importancia en este campo y en física teórica (por ejemplo, en la investigación sobre quarks) creció de manera constante en el siglo XX. En términos generales, la teoría de grupos de Lie es el terreno común de la teoría de grupos y la teoría de variedades topológicas. La pregunta que hizo Hilbert se centró con precisión en la cuestión siguiente: ¿Hay alguna diferencia si se impone una restricción a las variedades diferenciables? La respuesta esperada fue negativa (los grupos clásicos, los ejemplos más centrales en la teoría de grupos de Lie, son variedades suaves). Esto finalmente se confirmó a principios de la década de 1950. Dado que Hilbert no disponía de la noción precisa de "variedad", hay lugar para cierto debate sobre la formulación del problema en el lenguaje matemático contemporáneo. (es) Hilbert's fifth problem is the fifth mathematical problem from the problem list publicized in 1900 by mathematician David Hilbert, and concerns the characterization of Lie groups. The theory of Lie groups describes continuous symmetry in mathematics; its importance there and in theoretical physics (for example quark theory) grew steadily in the twentieth century. In rough terms, Lie group theory is the common ground of group theory and the theory of topological manifolds. The question Hilbert asked was an acute one of making this precise: is there any difference if a restriction to smooth manifolds is imposed? The expected answer was in the negative (the classical groups, the most central examples in Lie group theory, are smooth manifolds). This was eventually confirmed in the early 1950s. Since the precise notion of "manifold" was not available to Hilbert, there is room for some debate about the formulation of the problem in contemporary mathematical language. (en) Le cinquième problème de Hilbert fait partie de la liste des vingt-trois problèmes posés par David Hilbert en 1900, et concerne la caractérisation des groupes de Lie. Il s'agissait (dans un langage moderne et en interprétant la question, puisqu'à l'époque la notion précise de variété différentielle n'existait pas) de démontrer que dans la définition d'un groupe de Lie, la condition de différentiabilité est redondante. Cette conjecture était plausible (les groupes classiques, exemples centraux de la théorie des groupes de Lie, sont des variétés lisses) et finit par être confirmée au début des années 1950. (fr) Hilberts femte problem är ett av Hilberts 23 problem. Det offentliggjordes år 1900 relaterat till frågan: Är kontinuerliga grupper per automatik differentiella grupper? En lösning gavs av . Det förväntade svaret var nekande. Detta blev så småningom bekräftat i början av 1950-talet. Eftersom det exakta begreppet "mångfald" inte var tillgängligt för Hilbert så finns det utrymme för viss debatt om utformningen av problemet i dagens matematiska språk. (sv) O quinto problema de Hilbert é um problema matemático da lista de problemas proposta em 1900 pelo matemático David Hilbert. A proposta original de Hilbert era: Desenvolver uma teoria dos grupos contínuos de transformações sem assumir a hipótese de diferenciação nas funções que definem o grupo A teoria dos grupos contínuos de transformações, em nomenclatura moderna, é a . Um grupo de Lie é um objeto matemático G dotado tanto de uma estrutura de grupo quanto de , em que a operação de multiplicação do grupo é suave. Exemplos de grupos de Lie são o espaço euclidiano real com a operação de soma , o círculo S1, o toro Tn = S1 x ... x S1, o espaço das matrizes inversíveis nxn em ou Gl(n, F), e o E3. O nome grupo de Lie faz referência ao matemático norueguês Sophus Lie (1842-1899) que estudou, no final do século XIX, sistemas de equações diferenciais, em particular transformações do espaço euclidiano real definidas por equações diferencias e como a composição destas transformações se relacionava ao par original de uma forma diferenciável. A noção abstrata de um grupo de Lie foi se desenvolvendo de forma gradual, até ser estabelecida por Mayer e em 1935. O quinto problema de Hilbert tinha uma resposta negativa, porém, com alguns ajustes, torna-se possível dar uma resposta. Conforme disse Andrew Gleason: Muitos matemáticos não estão cientes de que o problema, como proposto por Hilbert, não é o problema que vem sendo chamado de quinto problema de Hilbert. Foi mostrado bem cedo que o que ele estava propondo às pessoas era falso. Ele perguntou se a ação de um grupo localmente euclidiano sobre uma superfície era sempre analítica, o que é falso... É preciso mudar a questão consideravelmente para chegar à pergunta que ele estava interessado em saber se era verdade. Eu acho que isto é interessante. É também parte de como a teoria matemática se desenvolve. As pessoas tem ideias sobre como as coisas devem ser, e propõem isto como questões a serem trabalhadas, mas depois isto não se mostra válido. Quando se tornou clara a noção de um grupo topológico, o quinto problema passou a ser entendido como a seguinte questão: É possível introduzir coordenadas analíticas (ou seja, coordenadas em que a regra de multiplicação é dada por funções analíticas) em alguma vizinhança da identidade de um grupo ? Esta formulação torna o problema mais concreto, mas também o restringe, pois não considera todos os grupos de transformações. O resultado final, após passos fundamentais dados por von Neumann, Pontryagin, Chevalley e Mal'cev, foi dado por Gleason, Montgomery e Zippin em 1952, e estendido no ano seguinte por . John von Neumann, em 1933, resolveu o problema para grupos compactos, Lev Pontryagin resolveu no ano seguinte o caso de grupos comutativos, Chevaley, em 1941 resolveu para grupos solúveis e Mal'cev, em 1946, para grupos solúveis conexos e localmente compactos. A resolução final veio com o trabalho de Andrew Gleason, Deane Montgomery e Leo Zippin, e em 1953 obteve a resposta final para o quinto problema de Hilbert. Junto com o trabalho de , pode-se afirmar: Para todo grupo G localmente compacto e toda vizinhança U da identidade, existe uma vizinhança da identidade V contida em U que é resultado do de um grupo de Lie L e um grupo compacto. Além disto, se G não for , então a vizinhança V pode ser escolhida tal que em toda decomposição desta forma o grupo local de Lie L tem . (pt) Пятая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленных Давидом Гильбертом в его докладе на II Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Пятая проблема Гильберта относится к теории топологических групп преобразований и групп Ли. Для важных частных случаев решения были получены в 1933 и 1934 годах, окончательно решена в 1952 году. (ru) 希尔伯特第五问题，即是否所有连续群都是可微群的问题。它由德国著名数学家大卫·希尔伯特在1900年的国际数学家大会提出，是当时他提出的23个问题之一。1953年日本数学家山边英彦（山辺 英彦）证明了这个问题的答案是肯定的。 (zh) |
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