Hilbert's seventeenth problem (original) (raw)
Hilberts sjuttonde problem är ett av Hilberts 23 problem. Det formulerades år 1900 och handlar om att uttrycka rationella funktioner som kvoter av summor av kvadrater. Problemet är löst då en övre gräns för antalet nödvändiga kvadratiska termer har hittats.
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| dbo:abstract | El decimoséptimo problema de Hilbert (uno de los conocidos como veintitrés Problemas de Hilbert, publicados en 1900 por el matemático alemán David Hilbert), se refiere a la expresión de las funciones racionales positivas definidas como sumas de cocientes de cuadrados. La pregunta original puede reformularse como: * Dado un polinomio multivariable que toma solo valores no negativos sobre los números reales, ¿se puede representar como una suma de cuadrados de funciones racionales? La pregunta de Hilbert se puede restringir a polinomios homogéneos de grado par, ya que un polinomio de grado impar cambia de signo, y los polinomios homogéneos solo toman valores no negativos si y solo si lo mismo es cierto para el polinomio. (es) Hilbert's seventeenth problem is one of the 23 Hilbert problems set out in a celebrated list compiled in 1900 by David Hilbert. It concerns the expression of positive definite rational functions as sums of quotients of squares. The original question may be reformulated as: * Given a multivariate polynomial that takes only non-negative values over the reals, can it be represented as a sum of squares of rational functions? Hilbert's question can be restricted to homogeneous polynomials of even degree, since a polynomial of odd degree changes sign, and the homogenization of a polynomial takes only nonnegative values if and only if the same is true for the polynomial. (en) Le dix-septième problème de Hilbert est l'un des vingt-trois problèmes de Hilbert, posés par David Hilbert en 1900. Il s'agissait, dans celui-là, de montrer que toute fonction rationnelle à coefficients réels positive (i.e. ne prenant que des valeurs positives) est somme de carrés de fonctions rationnelles sur ℝ. Il a été résolu en 1927 par Emil Artin, sur ℝ et plus généralement sur tout corps réel clos. Une démonstration par la théorie des modèles a été trouvée par le logicien Abraham Robinson. Une solution algorithmique a été trouvée en 1984 par Charles Delzell. Un résultat de Albrecht Pfister montre que toute forme positive en n variables est somme de 2n carrés. Dubois a prouvé en 1967 que le théorème ne se généralise pas à un corps ordonné quelconque. Dans ce cas, on peut seulement affirmer que tout (en) est combinaison linéaire à coefficients positifs de carrés de fonctions rationnelles. Gondard-Ribenboim et Procesi-Schacher ont donné une généralisation matricielle — toute matrice de fractions rationnelles qui ne prend que des valeurs positives est somme de carrés de matrices symétriques — et Hillar-Nie en ont trouvé une démonstration élémentaire. La formulation par Hilbert de son 17e problème (équivalente à la formulation ci-dessus) était : montrer que tout polynôme positif à coefficients réels est somme de carrés de fonctions rationnelles sur ℝ. Hilbert avait démontré en 1888 qu'un tel polynôme n'est pas nécessairement somme de carrés de polynômes mais Motzkin fut le premier, en 1966, à donner un contre-exemple explicite : X4Y2 + X2Y4 – 3X2Y2 + 1. On connaît des conditions suffisantes explicites pour qu'un polynôme soit somme de carrés de polynômes. Un polynôme positif est tout de même toujours limite (pour la norme ℓ1 sur les coefficients) de sommes de carrés de polynômes. Une question encore ouverte est d'expliciter le plus petit nombre v(n, d) tel que tout polynôme positif de degré d en n variables est somme de v(n, d) carrés de fonctions rationnelles réelles. Le meilleur résultat connu en 2008 est la majoration trouvée par Pfister en 1967 : v(n, d) ≤ 2n. L'analogue hermitien en analyse complexe, en remplaçant les carrés de fonctions rationnelles par des carrés de normes de fonctions holomorphes, est plus difficile, mais vrai pour les polynômes positifs, d'après un résultat de Quillen. Cependant, le résultat de Pfister ne s'étend pas à ce cas, c'est-à-dire que le nombre de carrés nécessaires n'est pas borné. (fr) Hilberts sjuttonde problem är ett av Hilberts 23 problem. Det formulerades år 1900 och handlar om att uttrycka rationella funktioner som kvoter av summor av kvadrater. Problemet är löst då en övre gräns för antalet nödvändiga kvadratiska termer har hittats. (sv) Na matemática, o décimo-sétimo problema de Hilbert foi proposto por David Hilbert em 1900, sendo esse um dos seus 23 problemas. Esse problema consiste em provar que, se uma expressão polinomial usando números reais sempre retorna valores maiores ou iguais a zero, então esta expressão pode ser escrita como uma soma de quadrados de funções racionais. O problema foi demonstrado por Émil Artin e Otto Schreier, que desenvolveram a teoria dos corpos formalmente reais para poder demonstrar a conjectura. (pt) Семнадцатая проблема Гильберта — одна из 23 проблем Гильберта, которые Давид Гильберт высказал в 1900 году на II Международном конгрессе математиков в Париже и которые оказали исключительное влияние на развитие математики в XX веке. Формулировка задачи по Гильберту такова: Эмиль Артин дал положительное решение этого вопроса в 1927 году, но его решение было неконструктивным. Алгоритмическое решение было найдено Чарльзом Дельзеллом в 1984 году. (ru) 希爾伯特第十七問題，是希爾伯特的23個問題之一。假設為實係數多項式，且對每個都有，希爾伯特提出下述問題：是否可能將表成實係數有理函數的平方和？ 此問題首先由埃米爾·阿廷於1927年給出肯定回答，並開展了實封閉域的理論；此後也有就模型論觀點的相關研究，請參見下列文獻。 (zh) |
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