Impredicativity (original) (raw)
L'imprédicativité est un terme du domaine des mathématiques, de la logique, de la théorie des ensembles et de la théorie des types. On dit qu'il y a imprédicativité « lorsqu'un objet parle de lui-même ». Une définition est imprédicative si l'objet défini intervient dans la définition elle-même.
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| dbo:abstract | In mathematics, logic and philosophy of mathematics, something that is impredicative is a self-referencing definition. Roughly speaking, a definition is impredicative if it invokes (mentions or quantifies over) the set being defined, or (more commonly) another set that contains the thing being defined. There is no generally accepted precise definition of what it means to be predicative or impredicative. Authors have given different but related definitions. The opposite of impredicativity is predicativity, which essentially entails building stratified (or ramified) theories where quantification over lower levels results in variables of some new type, distinguished from the lower types that the variable ranges over. A prototypical example is intuitionistic type theory, which retains ramification so as to discard impredicativity. Russell's paradox is a famous example of an impredicative construction—namely the set of all sets that do not contain themselves. The paradox is that such a set cannot exist: If it would exist, the question could be asked whether it contains itself or not — if it does then by definition it should not, and if it does not then by definition it should. The greatest lower bound of a set X, glb(X), also has an impredicative definition: y = glb(X) if and only if for all elements x of X, y is less than or equal to x, and any z less than or equal to all elements of X is less than or equal to y. This definition quantifies over the set (potentially infinite, depending on the order in question) whose members are the lower bounds of X, one of which being the glb itself. Hence predicativism would reject this definition. (en) En el ámbito de las matemáticas, la lógica y la filosofía de las matemáticas, se llama impredicativa a toda definición autorreferencial, es decir, a toda definición de un objeto en la que se cuantifica sobre el conjunto al que este objeto pertenece o en la que se define un conjunto haciendo referencia a él mismo. No existe convenio acerca de lo que diferencia lo predicativo de lo impredicativo. Las definiciones predicativas son las que tratan a los objetos de manera estratificada o ramificada (véase Teoría de tipos), y en este caso se cuantifica sobre variables de un nivel estrictamente inferior al del tipo en el que se efectúa la definición. Un ejemplo representativo es el de la . La Paradoja de Russell es un ejemplo de una construcción impredicativa: el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. Entonces podemos afirmar que este conjunto pertenece a sí mismo si y solo si no se pertenece a sí mismo. La menor cota superior de un conjunto es otro ejemplo claro de definición impredicativa, ya que definimos a este objeto como el elemento del conjunto que es mayor o igual que todos los demás. Está claro que estamos haciendo referencia al conjunto al cual pertenece tal objeto, y por tanto esta definición es impredicativa. (es) L'imprédicativité est un terme du domaine des mathématiques, de la logique, de la théorie des ensembles et de la théorie des types. On dit qu'il y a imprédicativité « lorsqu'un objet parle de lui-même ». Une définition est imprédicative si l'objet défini intervient dans la définition elle-même. (fr) Definicja niepredykatywna – w logice matematycznej definicja zawierająca element samoodniesienia. Ściślej mówiąc definicja obiektu m jest niepredykatywna, jeśli m należy do zbioru M i jednocześnie definicja m zależy od zbioru M. Wiele antynomii logicznych związanych jest z obiektami definiowanymi niepredykatywnie. Typowym przykładem takiego obiektu jest zbiór wszystkich zbiorów, które nie są swoim elementem związany z paradoksem Russella. W tym wypadku zbiorem M jest zbiór wszystkich zbiorów. Dzielimy go na dwie części: jeden zbiór zawierający tylko te zbiory, które są swoim elementem i drugi stanowiący dopełnienie tego zbioru w M, który oznaczamy jako T (zbiór tych zbiorów, które nie są swoim elementem). Później wychodząc z założenia, że T należy do M dochodzimy do sprzeczności niezależnie od tego, do której części określonego podziału należy. W paradoksie Richarda rozważamy zbiór M wszystkich wyrażeń języka definiujących właściwości arytmetyczne liczb naturalnych. Właściwość bycia liczbą Richarda jest definicją należącą do M i jednocześnie zależy od M. Henri Poincaré uważał, że przyczyny powyższych paradoksów leżą w stosowaniu definicji niepredykatywnych. Jednak ograniczenie metod matematycznych jedynie do metod predykatywnych pociągnęłoby wyeliminowanie wielu matematycznych konstrukcji, które nie prowadzą do paradoksów. Na przykład definicja supremum podzbioru liczb rzeczywistych ma charakter niepredykatywny. Niepredykatywny charakter stosowanych w matematyce definicji w tym i innych przypadkach jest analizowany w książce Weylea The Continuum. (pl) Em matemática e lógica, impredicatividade é a propriedade de uma definição autorreferenciável. Mais precisamente, a definição é chamada impredicativo se ela chamar (mencionar ou quantificar) o próprio conjunto que já está sendo definido, ou (mais comumente) outro conjunto que contenha o conjunto que está sendo definido. O Paradoxo de Russell é um famoso exemplo de construção de um impredicativo, ou seja, o conjunto de todos os conjuntos que não contêm eles mesmos. O paradoxo acontece se o tal conjunto contém ele próprio ou não — se ele contiver então, por definição, ele não deveria conter a si mesmo, e se ele não contiver, então, por definição, ele deveria conter a si mesmo. O maior limite inferior de um conjunto X, glb(X), também tem uma definição impredicativa; y = glb(X) se e somente se para todos os elementos x de X, y for menor ou igual a x, e qualquer z menor ou igual a todos os elementos de X é menor ou igual a y. Apesar disso, essa definição também quantifica o conjunto (potencialmente infinito, dependendo da ordem em questão) cujos elementos são o limites inferior de X, sendo um deles o próprio limite inferior. O predicativismo de Hence rejeitaria essa definição. A noção oposta de impredicatividade é o predicatividade, que essencialmente constrói teorias estratificadas (ou ramificadas) onde a quantificação de níveis menores resultam em variáveis de um novo tipo, diferentes dos tipos de menor nível que a variável consegue alcançar. Um exemplo simples seria a da teoria intuicionista, que possui a ramificação, mas descarta a impredicatividade. (pt) Непредикати́вность определения в математике и логике, нестрого говоря, означает, что осмысленность определения предполагает наличие определяемого объекта. Пример: объект определяется как такой элемент некоторого множества, который удовлетворяет определённому отношению между ним и всеми элементами этого множества (включая и само ). В некоторых случаях непредикативное определение может привести к недоразумениям или даже противоречиям. Противоположное по смыслу понятие — предикативность. Для определений на формальном языке «Математическая энциклопедия» приводит более строгий вариант: Не существует общепризнанного чёткого определения непредикативности, различные источники дают сходные, но разные определения. Например, встречается такое: определение объекта X непредикативно, если оно либо ссылается на само X, либо (чаще всего) на множество , содержащее X; при этом представляется законченным, хотя данное определение может повлиять на его состав. (ru) 一个数学定义是非直谓性的，如果它依赖于一个事物的集合，至少其中之一是它自身所定义的事物。换句话说，定义是自引用的。 罗素悖论是著名的非直谓性构造：“不包含自身作为成员的所有集合的集合”。悖论是这种集合是否包含自身——如果包含则根据它的定义它应当不是，而如果不是则根据它的定义它应当是。 但是，著名的数学家拉姆齐争论说，非直谓性定义是绝对需要的。例如，「屋子里最高的人」是非直谓性的，因为它依赖于某個包含其本身的集合，也就是在屋子中所有人的集合。对于数学，一个非直谓性定义是一个集合中最小元素，它被形式定义为： 当且仅当 ，且对于 的所有元素 ，有 小于等于 。 (zh) |
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