Integral geometry (original) (raw)
In mathematics, integral geometry is the theory of measures on a geometrical space invariant under the symmetry group of that space. In more recent times, the meaning has been broadened to include a view of invariant (or equivariant) transformations from the space of functions on one geometrical space to the space of functions on another geometrical space. Such transformations often take the form of integral transforms such as the Radon transform and its generalizations.
| Property | Value |
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| dbo:abstract | Integralgeometrie ist ein Zweig der Geometrie, der sich mit Maßen beschäftigt, die invariant unter Gruppen von Transformationen des Raumes sind. Sie hat ihre Wurzeln in geometrischer Wahrscheinlichkeitstheorie (Buffonsches Nadelproblem, Croftons Schnittformel). Ein weiteres frühes klassisches Resultat ist die Cauchysche Oberflächenformel, die den Oberflächeninhalt eines konvexen Körpers als Mittel über die Flächen der Parallelprojektionen des konvexen Körpers in alle Raumrichtungen ausdrückt. Der Name „Integralgeometrie“ stammt von Wilhelm Blaschke, der damit das Gebiet von der geometrischen Wahrscheinlichkeitstheorie loslösen wollte und von einer Vorlesung von Gustav Herglotz angeregt wurde. Blaschke wandte die Integralgeometrie – neben affinen Unterräumen – vor allem auf konvexe Körper im euklidischen Raum an. Der Körper lässt sich im Raum bewegen und in der Integralgeometrie werden Integrale (Mittelwerte) über die Bewegungsgruppe des Körpers (im euklidischen Raum Drehungen und Translationen) gebildet. Das unter der Bewegungsgruppe invariante Maß wird kinematische Dichte genannt. Kinematische Dichten benutzte schon Crofton in einfachen Fällen und danach Henri Poincaré für den Fall des Schnitts einer Kurve mit einer bewegten zweiten Kurven. Luis Santaló und S. S. Chern dehnten die Integralgeometrie auf glatte (nicht-konvexe) Flächen und nichteuklidische Räume aus, Hugo Hadwiger auf Konvexringe (endliche Vereinigung konvexer Mengen). Die Rekonstruktionen von Funktionen aus ihren Integralen über affine Unterräume (Radon-Transformation) ist ein Teilgebiet, das in der Computertomographie Anwendung findet. Eine andere Anwendung ist die ab den 1970er Jahren entstandene Stochastische Geometrie. (de) In mathematics, integral geometry is the theory of measures on a geometrical space invariant under the symmetry group of that space. In more recent times, the meaning has been broadened to include a view of invariant (or equivariant) transformations from the space of functions on one geometrical space to the space of functions on another geometrical space. Such transformations often take the form of integral transforms such as the Radon transform and its generalizations. (en) En matemáticas, geometría integral se refiere al subcampo de la teoría de la medida que estudia los invariantes del grupo de simetría de un espacio geométrico. En tiempos recientes, el significado se ha ampliado para incluir a las transformaciones invariantes (o ) de un espacio de funciones sobre un espacio geométrica al espacio de funciones de otro espacio geométrico. Estas transformaciones frecuentemente toman la forma de transformadas integrales, como por ejemplo la transformada de Radon y sus generalizaciones. (es) Dalam matematika, geometri integral adalah teori ukuran pada ruang geometri yang tidak berubah di bawah ruang. Belakangan, makna telah diperluas dengan memasukkan pandangan transformasi invarian (atau ) dari ruang fungsi pada satu ruang geometris ke ruang fungsi pada ruang geometri yang lain. Transformasi semacam itu sering mengambil bentuk seperti dan generalisasinya. (in) En mathématiques, le terme « géométrie intégrale » est utilisé pour désigner un ensemble de résultats et de méthodes de calcul visant à déterminer, par des moyens analytiques, des quantités de nature géométrique. (fr) In matematica, la geometria integrale è la teoria delle misure che sono invarianti rispetto al gruppo delle simmetrie dallo spazio considerato in sé stesso (il gruppo delle isometrie invarianti rispetto all'operazione di composizione di funzioni) definite su sottovarietà dello spazio come ad esempio curve, piani o geodetiche. La geometria integrale comprende anche lo studio di particolari trasformazioni invarianti dallo spazio delle funzioni definite su uno spazio geometrico allo spazio delle funzioni definite su un altro spazio geometrico, che assumono spesso la forma di trasformate integrali, come in particolare la trasformata di Radon e le sue generalizzazioni. (it) Em matemática, geometria integral é a teoria das medidas sobre um espaço geométrico invariante sob o grupo de simetria deste espaço. Em tempos mais recentes, o significado tem sido ampliado para incluir uma visão de transformações invariantes (ou ) do espaço de funções sobre um espaço geométrico de funções em outro espaço geométrico. Tais transformações frequentemente tomam a forma de transformadas integrais tais como a transformada de Radon e suas generalizações. (pt) Интегральная геометрия изучает меры инвариантные относительно группы симметрий. Термин появляется в работах и Вильгельма Бляшке.Большой вклад внесли Гуго Хадвигер, и Израиль Гельфанд. Из наиболее важных теорем следует упомянуть неравенство Александрова — Фенхеля и теорему Хадвигера.К более ранним результатам интегральной геометрии можно отнести задачу Буффона о бросании иглы и формулу Крофтона. (ru) |
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