Differential form (original) (raw)
الصورة التفاضلية في الحقول الرياضية للهندسة التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل، فإن الأشكال التفاضلية هي نهج لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وهو مستقل عن الإحداثيات. توفر الأشكال التفاضلية منهجًا موحدًا لتعريف التكاملات على المنحنيات والأسطح والأحجام والمشعبات ذات الأبعاد الأعلى. الفكرة الحديثة من الأشكال التفاضلية كانت رائدة من قبل إيلي كارتان. لديها العديد من التطبيقات، وخاصة في الهندسة والطوبولوجيا والفيزياء. * بوابة رياضيات * بوابة هندسة رياضية
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En geometria diferencial, és un objecte matemàtic pertanyent a un espai vectorial que apareix en el càlcul multivariable, càlcul tensorial o en física. Comunament una forma diferencial pot ser entesa com un operador multilineal antisimètric definit sobre l'espai vectorial tangent a una varietat diferenciable. En un espai o varietat de dimensió n, poden definir 0-formes, 1-formes, ... i n-formes. El concepte de forma diferencial és una generalització sobre idees prèvies com el gradient, la divergència, el rotacional, etc. Aquesta generalització i la notació moderna usada en l'estudi de les formes diferencials es deu a Élie Cartan. (ca) Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění funkcí na hladké varietě. Formálně jde o funkci s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině konečného prostoru. Ekvivalentně, diferenciální forma je antisymetrická multilineární funkce, která k vektorovým polím přiřadí skalární funkci. Méně formálně, diferenciální -forma je objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety. Někdy se pod pojmem diferenciální forma rozumí lineární diferenciální forma (1. stupně, 1-forma, Pfaffova forma), které mají důležité uplatnění např. v termodynamice. V souřadnicích se dá lokálně vyjádřit jako . (cs) الصورة التفاضلية في الحقول الرياضية للهندسة التفاضلية وحساب التفاضل والتكامل، فإن الأشكال التفاضلية هي نهج لحساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات وهو مستقل عن الإحداثيات. توفر الأشكال التفاضلية منهجًا موحدًا لتعريف التكاملات على المنحنيات والأسطح والأحجام والمشعبات ذات الأبعاد الأعلى. الفكرة الحديثة من الأشكال التفاضلية كانت رائدة من قبل إيلي كارتان. لديها العديد من التطبيقات، وخاصة في الهندسة والطوبولوجيا والفيزياء. * بوابة رياضيات * بوابة هندسة رياضية (ar) Der Begriff Differentialform (oft auch alternierende Differentialform genannt) geht auf den Mathematiker Élie Joseph Cartan zurück. Differentialformen sind ein grundlegendes Konzept der Differentialgeometrie. Sie erlauben eine koordinatenunabhängige Integration auf allgemeinen orientierten differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. (de) Je diferenciala geometrio, diferenciala formo estas , kies ĉiuj indicoj estas malsupraj, kaj kiu estas tute malsimetria. Pri ĝi ekzistas la naturaj operacioj de kojna produto (dulineara) kaj ekstera derivo (unulineara diferenciala operatoro). (eo) In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher-dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1-form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f: Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2-form that can be integrated over a surface S: The symbol ∧ denotes the exterior product, sometimes called the wedge product, of two differential forms. Likewise, a 3-form f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz represents a volume element that can be integrated over a region of space. In general, a k-form is an object that may be integrated over a k-dimensional manifold, and is homogeneous of degree k in the coordinate differentials On an n-dimensional manifold, the top-dimensional form (n-form) is called a volume form. The differential forms form an alternating algebra. This implies that and This alternating property reflects the orientation of the domain of integration. The exterior derivative is an operation on differential forms that, given a k-form , produces a (k+1)-form This operation extends the differential of a function (a function can be considered as a 0-form, and its differential is ) This allows expressing the fundamental theorem of calculus, the divergence theorem, Green's theorem, and Stokes' theorem as special cases of a single general result, the generalized Stokes theorem. Differential 1-forms are naturally dual to vector fields on a differentiable manifold, and the pairing between vector fields and 1-forms is extended to arbitrary differential forms by the interior product. The algebra of differential forms along with the exterior derivative defined on it is preserved by the pullback under smooth functions between two manifolds. This feature allows geometrically invariant information to be moved from one space to another via the pullback, provided that the information is expressed in terms of differential forms. As an example, the change of variables formula for integration becomes a simple statement that an integral is preserved under pullback. (en) En geometría diferencial, la forma diferencial es un objeto matemático perteneciente a un espacio vectorial que aparece en el cálculo multivariable, cálculo tensorial o en física. Comúnmente una forma diferencial puede ser entendida como un operador multilineal antisimétrico definido sobre el espacio vectorial tangente a una variedad diferenciable. En un espacio o variedad de dimensión n, pueden definirse 0-formas, 1-formas, ... y n-formas. El concepto de forma diferencial es una generalización sobre ideas previas como el gradiente, la divergencia, el rotacional, etc. Esa generalización y la moderna notación usada en el estudio de las formas difenciales se debe a Élie Cartan. (es) Geometria diferentzialeko eta tentsore-kalkuluko matematikaren arloetan, forma diferentzialak hurbilketa bat dira aldagai anitzeko kalkulura, koordenatuen menpe ez dagoena. Forma diferentzialek kalkuluaren integrakizunen definizio zehatzago eskaintzen dute. Esaterako, ƒ(x) dx 1-forma bat da, ƒ funtzioaren eremuko [a,b] tartean integratu daitekeena era berean, ƒ(x,y) dx + g(x,y) dy 1-forma bat da, edozein γ kurba norabideraturen gaineko duena; ƒ eta g funtzioen eremuan. Horrelaxe, ƒ(x, y, z) dx dy dz 3-forma batek espazioko eremu baten gainean integratuta izan daitekeen zerbait adierazten du. Forma diferentzialen hastapen modernoa Élie Cartanek eman zuen, eta aplikazio asko dituzte, bereziki geometrian, topologian eta fisikan. (eu) En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d'un champ d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle possédant une certaine régularité. Le degré des formes différentielles désigne le degré des applications multilinéaires. La différentielle d'une fonction numérique peut être regardée comme un champ de formes linéaires : c'est le premier exemple de formes différentielles. Au-delà de cet exemple, non seulement les formes différentielles interviennent naturellement dans les problèmes de géométrie différentielle, mais elles permettent de définir des structures importantes, comme les formes volumes, les formes symplectiques, les formes de contact ou encore les connexions. La manipulation des formes différentielles fait intervenir un certain nombre d'opérations, dont le produit extérieur, le produit intérieur, la dérivée extérieure et la dérivée de Lie. En particulier, la dérivée extérieure permet de distinguer les formes fermées et les formes exactes. Cette distinction permet dans un second temps de définir les espaces de cohomologie de De Rham. Les problèmes de régularité ne sont pas abordés dans cet article. On fera donc implicitement l'hypothèse que les fonctions introduites sont de classe C∞. (fr) In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili. Su una -varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo , una forma differenziale ha una dimensione minore o uguale a . Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come -forma. Nel caso , la forma è un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza è la possibilità di effettuare l'integrale di su un qualsiasi oggetto geometrico , di analoga dimensione , di una generica -varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con Pertanto, una 1-forma è integrabile su una curva, una 2-forma su una superficie, e così via. Le 1-forme sono di fondamentale importanza in molti settori dell'analisi matematica, e in particolare in analisi complessa. (it) 미분기하학에서 미분 형식(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 , 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, 차원의 다양체에서는 -형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. (ko) 数学における微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。 (ja) Een differentiaalvorm is een object uit de meetkunde. Het geeft een precieze betekenis aan begrippen als "georiënteerd volume van een deelruimte" of "georiënteerde integraal over een deelruimte". Het veralgemeent onder meer: * lijn- en kringintegraal * flux van een vectorveld doorheen een oppervlak, zoals de elektrische flux in de natuurkunde. Differentiaalvormen leven in het algemeen op gladde variëteiten, dat zijn gekromde ruimten waarvan de punten plaatselijk kunnen beschreven worden met coördinaten. Dit artikel begint echter met de definitie van differentiaalvormen op de -dimensionale reële Euclidische ruimte (nl) Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Forma różniczkowa bywa definiowana jako rodzaj pola tensorowego – pole antysymetryczne i kowariantne. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. Rachunek form różniczkowych jest często wykorzystywany w fizyce do całkowania pracy, strumieni pola (magnetycznego, grawitacyjnego itp.) przechodzących przez powierzchnię, potencjałów pól itp. Pojęcie formy różniczkowej formalizuje te operacje z matematycznego punktu widzenia. W dalszej części artykułu niech będzie ustaloną liczbą naturalną (wymiarem przestrzeni dla której definiowane będą formy) oraz niech będzie ustalonym domkniętym (zwartym) przedziałem wielowymiarowym w przestrzeni (pl) Differentialform är ett vanligt sätt att beskriva en matematisk modell av ett system. Systemet beskrivs då i form av en differentialekvation, det vill säga förhållandet mellan en funktion och dess egna derivator. Andra sätt att beskriva system i matematiska modeller är , , eller transformer. (sv) Em geometria diferencial, uma forma diferencial é um objeto matemático pertencente a um espaço vetorial que aparece no cálculo multivariável, cálculo tensorial ou em física. Pode ser comumente entendida como um operador multilinear antissimétrico definido sobre o espaço vetorial tangente a uma variedade diferenciável. Em um espaço ou variedade de dimensão n, podem definir-se 0-formas, , ... e n-formas. Pela propriedade da antissimetria, as k-formas para k > n são identicamente nulas. O conceito de forma diferencial é uma generalização sobre idéias prévias como o gradiente, a divergência, o rotacional, etc. Essa generalização e a moderna notação usada no estudo das formas diferenciais se deve a Elie Cartan. (pt) Дифференциа́льная фо́рма порядка , или -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа на многообразии. Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля. Пространство -форм на многообразии обычно обозначают . (ru) Диференціальна форма порядку або -форма — кососиметричне тензорне поле типу на дотичному розшаруванні многовиду. Диференціальні форми введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття. Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля. Простір -форм на многовиді звичайно позначають . (uk) 微分形式（英語：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。 例如，一元微积分中的表达式f(x) dx是1-形式的一个例子，并且可以在f定义域内的一个区间[a, b]上进行积分： 类似地，表达式f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz是2-形式的一种，它在可定向曲面S上有曲面积分: 符号∧表示两个微分形式的外积，有时候也称为楔积。类似地，3-形式f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地，k-形式是一个可以在k-维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是k次齐次的。 (zh) |
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| dbp:reason | Please specify the isomorphism. The linked MO answer does not give the isomorphism explicitly and is unclear for non-specialists. The definition of the isomorphism needs to be clear to be able to chose between two commonly used definitions of the wedge product. (en) |
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Pri ĝi ekzistas la naturaj operacioj de kojna produto (dulineara) kaj ekstera derivo (unulineara diferenciala operatoro). (eo) 미분기하학에서 미분 형식(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다. 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 , 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, 차원의 다양체에서는 -형식을 자연스럽게 적분할 수 있다. (ko) 数学における微分形式（びぶんけいしき、英: differential form）とは、微分可能多様体上に定義される共変テンソル場である。微分形式によって多様体上の局所的な座標の取り方によらない関数の微分が表現され、また多様体の内在的な構造のみによる積分は微分形式に対して定義される。微分多様体上の微分形式は共変テンソルとしての座標変換性によって、あるいは接ベクトル空間上の線型形式の連続的な分布として定式化される。また、代数幾何学・数論幾何学や非可換幾何学などさまざまな幾何学の分野でそれぞれ、この類推として得られる微分形式の概念が定式化されている。 (ja) Differentialform är ett vanligt sätt att beskriva en matematisk modell av ett system. Systemet beskrivs då i form av en differentialekvation, det vill säga förhållandet mellan en funktion och dess egna derivator. Andra sätt att beskriva system i matematiska modeller är , , eller transformer. (sv) Дифференциа́льная фо́рма порядка , или -форма, — кососимметрическое тензорное поле типа на многообразии. Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века. Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля. Пространство -форм на многообразии обычно обозначают . (ru) Диференціальна форма порядку або -форма — кососиметричне тензорне поле типу на дотичному розшаруванні многовиду. Диференціальні форми введені французьким математиком Елі Картаном на початку XX століття. Формалізм диференціальних форм є зручним в багатьох розділах теоретичної фізики і математики, зокрема, в теоретичній механіці, симплектичній геометрії, квантовій теорії поля. Простір -форм на многовиді звичайно позначають . (uk) 微分形式（英語：Differential form）是多变量微积分，微分拓扑和张量分析领域的一个数学概念。现代意义上的微分形式，及其以楔积和外微分结构形成外代数的想法，都是由法国数学家埃里·嘉当引入的。 例如，一元微积分中的表达式f(x) dx是1-形式的一个例子，并且可以在f定义域内的一个区间[a, b]上进行积分： 类似地，表达式f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz是2-形式的一种，它在可定向曲面S上有曲面积分: 符号∧表示两个微分形式的外积，有时候也称为楔积。类似地，3-形式f(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz表示可以在空间的一个区域进行积分的体积元。一般地，k-形式是一个可以在k-维集合上进行积分的对象，并且其坐标微分是k次齐次的。 (zh) En geometria diferencial, és un objecte matemàtic pertanyent a un espai vectorial que apareix en el càlcul multivariable, càlcul tensorial o en física. Comunament una forma diferencial pot ser entesa com un operador multilineal antisimètric definit sobre l'espai vectorial tangent a una varietat diferenciable. En un espai o varietat de dimensió n, poden definir 0-formes, 1-formes, ... i n-formes. (ca) Diferenciální forma stupně k neboli diferenciální k-forma je matematické zobecnění funkcí na hladké varietě. Formálně jde o funkci s hodnotami ve vnější tenzorové mocnině konečného prostoru. Ekvivalentně, diferenciální forma je antisymetrická multilineární funkce, která k vektorovým polím přiřadí skalární funkci. Méně formálně, diferenciální -forma je objekt, který se dá integrovat přes k-rozměrné podvariety. . (cs) In mathematics, differential forms provide a unified approach to define integrands over curves, surfaces, solids, and higher-dimensional manifolds. The modern notion of differential forms was pioneered by Élie Cartan. It has many applications, especially in geometry, topology and physics. For instance, the expression f(x) dx is an example of a 1-form, and can be integrated over an interval [a, b] contained in the domain of f: Similarly, the expression f(x, y, z) dx ∧ dy + g(x, y, z) dz ∧ dx + h(x, y, z) dy ∧ dz is a 2-form that can be integrated over a surface S: (en) Geometria diferentzialeko eta tentsore-kalkuluko matematikaren arloetan, forma diferentzialak hurbilketa bat dira aldagai anitzeko kalkulura, koordenatuen menpe ez dagoena. Forma diferentzialek kalkuluaren integrakizunen definizio zehatzago eskaintzen dute. Esaterako, ƒ(x) dx 1-forma bat da, ƒ funtzioaren eremuko [a,b] tartean integratu daitekeena era berean, ƒ(x,y) dx + g(x,y) dy 1-forma bat da, edozein γ kurba norabideraturen gaineko duena; ƒ eta g funtzioen eremuan. (eu) En geometría diferencial, la forma diferencial es un objeto matemático perteneciente a un espacio vectorial que aparece en el cálculo multivariable, cálculo tensorial o en física. Comúnmente una forma diferencial puede ser entendida como un operador multilineal antisimétrico definido sobre el espacio vectorial tangente a una variedad diferenciable. En un espacio o variedad de dimensión n, pueden definirse 0-formas, 1-formas, ... y n-formas. (es) En géométrie différentielle, une forme différentielle est la donnée d'un champ d'applications multilinéaires alternées sur les espaces tangents d'une variété différentielle possédant une certaine régularité. Le degré des formes différentielles désigne le degré des applications multilinéaires. La différentielle d'une fonction numérique peut être regardée comme un champ de formes linéaires : c'est le premier exemple de formes différentielles. Au-delà de cet exemple, non seulement les formes différentielles interviennent naturellement dans les problèmes de géométrie différentielle, mais elles permettent de définir des structures importantes, comme les formes volumes, les formes symplectiques, les formes de contact ou encore les connexions. (fr) In geometria differenziale e nel calcolo differenziale a più variabili, una forma differenziale è un particolare oggetto che estende la nozione di funzione a più variabili. Su una -varietà differenziabile, ad esempio un aperto dello spazio euclideo , una forma differenziale ha una dimensione minore o uguale a . Per questa ragione, viene anche indicata brevemente come -forma. Nel caso , la forma è un'ordinaria funzione. In generale, la proprietà che caratterizza è la possibilità di effettuare l'integrale di su un qualsiasi oggetto geometrico , di analoga dimensione , di una generica -varietà differenziabile. Il risultato di questa integrazione è indicato con (it) Een differentiaalvorm is een object uit de meetkunde. Het geeft een precieze betekenis aan begrippen als "georiënteerd volume van een deelruimte" of "georiënteerde integraal over een deelruimte". Het veralgemeent onder meer: * lijn- en kringintegraal * flux van een vectorveld doorheen een oppervlak, zoals de elektrische flux in de natuurkunde. (nl) Forma różniczkowa (krótko k-forma) – rodzaj funkcji związanej z rachunkiem różniczkowym i całkowym na rozmaitościach. Forma różniczkowa bywa definiowana jako rodzaj pola tensorowego – pole antysymetryczne i kowariantne. Podstawą rachunku form różniczkowych jest tzw. lemat Poincarego. 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| rdfs:label | شكل تفاضلي (ar) Forma diferencial (ca) Diferenciální forma (cs) Differentialform (de) Diferenciala formo (eo) Forma diferencial (es) Forma diferentzial (eu) Differential form (en) Forme différentielle (fr) Forma differenziale (it) 미분 형식 (ko) 微分形式 (ja) Differentiaalvorm (nl) Forma różniczkowa (pl) Forma diferencial (pt) Дифференциальная форма (ru) Differentialform (sv) 微分形式 (zh) Диференціальна форма (uk) |
| rdfs:seeAlso | dbr:Pullback_(differential_geometry) dbr:Exterior_algebra |
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