Iwasawa group (original) (raw)
In mathematics, a group is called an Iwasawa group, M-group or modular group if its lattice of subgroups is modular. Alternatively, a group G is called an Iwasawa group when every subgroup of G is permutable in G . Kenkichi Iwasawa proved that a p-group G is an Iwasawa group if and only if one of the following cases happens: * G is a Dedekind group, or * G contains an abelian normal subgroup N such that the quotient group G/N is a cyclic group and if q denotes a generator of G/N, then for all n ∈ N, q−1nq = n1+ps where s ≥ 1 in general, but s ≥ 2 for p=2.
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| dbo:abstract | In mathematics, a group is called an Iwasawa group, M-group or modular group if its lattice of subgroups is modular. Alternatively, a group G is called an Iwasawa group when every subgroup of G is permutable in G . Kenkichi Iwasawa proved that a p-group G is an Iwasawa group if and only if one of the following cases happens: * G is a Dedekind group, or * G contains an abelian normal subgroup N such that the quotient group G/N is a cyclic group and if q denotes a generator of G/N, then for all n ∈ N, q−1nq = n1+ps where s ≥ 1 in general, but s ≥ 2 for p=2. In , p. 257), Iwasawa's proof was deemed to have essential gaps, which were filled by and Zvonimir Janko. Roland Schmidt has provided an alternative proof along different lines in his textbook. As part of Schmidt's proof, he proves that a finite p-group is a modular group if and only if every subgroup is permutable, by . Every subgroup of a finite p-group is subnormal, and those finite groups in which subnormality and permutability coincide are called PT-groups. In other words, a finite p-group is an Iwasawa group if and only if it is a PT-group. (en) 数学における岩澤群（いわさわぐん、英: Iwasawa group、岩澤健吉に由来）、M群 (英: M-group)、モジュラー群 (英: modular group) とは、そのがモジュラーであるような群のことである。 また、ある群 G が岩澤群であるとは、G の各部分群が G 内ということであるとも言える。 Iwasawa は、p-群 G が岩澤群であることは、以下のどちらかが起こることと同値であることを示した。 * G は。 * G はアーベルな正規部分群 N を持ち、商群 G/N は巡回群である。かつ、G/N の生成元を q とすると、任意の n ∈ N に対し、q−1nq = n1+ps なる s が存在する。一般的には s ≥ 1だが、p = 2 の場合は s ≥ 2 となる。 , p. 257)によると、岩澤の証明には重要な欠陥があると思われ、これはとによって修正された。 Roland Schmidt は彼の教科書で、異なる方針による別証明を与えている。 その証明の中で、有限 p-群が岩澤群であることと、そのすべての部分群が準正規であることが同値だと示されている 。 有限 p-群の各部分群はで、亜正規性と準正規性が一致している有限群のことをという。 したがって、有限 p-群が岩澤群であることとPT-群であることは同値である。 (ja) |
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