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Der Satz von Kantorowitsch ist eine Aussage der angewandten Mathematik und garantiert die Konvergenz des Newton-Verfahrens unter minimalen Voraussetzungen. Er wurde von Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch 1940 erstmals veröffentlicht. (de) The Kantorovich theorem, or Newton–Kantorovich theorem, is a mathematical statement on the semi-local convergence of Newton's method. It was first stated by Leonid Kantorovich in 1948. It is similar to the form of the Banach fixed-point theorem, although it states existence and uniqueness of a zero rather than a fixed point. Newton's method constructs a sequence of points that under certain conditions will converge to a solution of an equation or a vector solution of a system of equation . The Kantorovich theorem gives conditions on the initial point of this sequence. If those conditions are satisfied then a solution exists close to the initial point and the sequence converges to that point. (en) ニュートン＝カントロビッチの定理（ニュートン＝カントロビッチのていり）はニュートン法に対する半局所収束定理であり、1948年にレオニート・カントロヴィチによって示された。バナッハ空間においても成立して、楕円型PDE・非線形方程式の解に対する精度保証付き数値計算で活用されているだけでなく、線形計画問題の精度保証付き数値解法にも応用される。ニュートン法は特定の条件で方程式f(x)=0もしくは方程式系F(x)=0の解に収束する数列を生成する。ニュートン＝カントロビッチの定理はこの数列の初期値に条件を与え、その条件が満たされたときに初期値の近くに解が存在して数列が解に収束することを主張している。 (ja) |
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Der Satz von Kantorowitsch ist eine Aussage der angewandten Mathematik und garantiert die Konvergenz des Newton-Verfahrens unter minimalen Voraussetzungen. Er wurde von Leonid Witaljewitsch Kantorowitsch 1940 erstmals veröffentlicht. (de) ニュートン＝カントロビッチの定理（ニュートン＝カントロビッチのていり）はニュートン法に対する半局所収束定理であり、1948年にレオニート・カントロヴィチによって示された。バナッハ空間においても成立して、楕円型PDE・非線形方程式の解に対する精度保証付き数値計算で活用されているだけでなく、線形計画問題の精度保証付き数値解法にも応用される。ニュートン法は特定の条件で方程式f(x)=0もしくは方程式系F(x)=0の解に収束する数列を生成する。ニュートン＝カントロビッチの定理はこの数列の初期値に条件を与え、その条件が満たされたときに初期値の近くに解が存在して数列が解に収束することを主張している。 (ja) The Kantorovich theorem, or Newton–Kantorovich theorem, is a mathematical statement on the semi-local convergence of Newton's method. It was first stated by Leonid Kantorovich in 1948. It is similar to the form of the Banach fixed-point theorem, although it states existence and uniqueness of a zero rather than a fixed point. (en) |
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