Nash embedding theorems (original) (raw)
De inbeddingstelling van Nash (ook wel de inbeddingsstellingen van Nash; vernoemd naar John Forbes Nash), stelt dat elke Riemann-variëteit isometrisch kan worden ingebed in een willekeurige Euclidische ruimte. Isometrisch betekent dat de lengte van elk pad bewaard blijft. Het buigen zonder uitrekken of het scheuren van een papieren blad geeft bijvoorbeeld een isometrische inbedding van dit blad in de Euclidische ruimte, omdat krommen die op dit papieren blad zijn getekend, wanneer dit blad wordt gebogen, dezelfde booglengte behouden.
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| dbo:abstract | Els teoremes d'immersió de Nash (o teoremes d'immersió), anomenats així en honor a John Forbes Nash Jr., afirmen que cada varietat de Riemann pot ser isomètricament immers en algun espai euclidià. Isomètric significa preservar la longitud de cada camí. Per exemple, doblegar però ni estirar ni trencar una pàgina de paper dóna una immersió isomètrica de la pàgina a l'espai euclidià perquè les corbes dibuixades a la pàgina mantenen la mateixa longitud d'arc però la pàgina està doblegada. El primer teorema és per a immersions derivables contínuament (C1) i el segon per a immersions que són analítiques o llises de la classe Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. Aquests dos teoremes són molt diferents entre si. El primer teorema té una demostració molt senzilla però condueix a algunes conclusions contraintuïtives, mentre que el segon teorema té una demostració tècnica i contraintuïtiva però condueix a un resultat menys sorprenent. El teorema C1 es va publicar el 1954, i el teorema Ck el 1956. El teorema analític real va ser tractat per primera vegada per Nash el 1966; el seu argument va ser simplificat considerablement per [Greene, Jacobowitz 1971] (Élie Cartan i van demostrar una versió local d'aquest resultat a la dècada del 1920). En el cas analític real, els operadors de llisor (vegeu més avall) en l'argument de la funció inversa de Nash es poden substituir segons estimacions de Cauchy. La demostració de Nash del cas Ck es va extrapolar més tard al i al teorema de la funció implícita de Nash-Moser. Una demostració més senzilla del segon teorema d'immersió de Nash va ser obtinguda per [Günther 1989] qui va reduir el conjunt d'equacions diferencials parcials no lineals a un sistema el·líptic, al qual es podria aplicar el teorema de mapeig de contracció. (ca) Der Einbettungssatz von Nash (nach John Forbes Nash Jr.) ist ein Ergebnis aus dem mathematischen Teilgebiet der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass jede riemannsche Mannigfaltigkeit isometrisch in einen euklidischen Raum für ein geeignetes eingebettet werden kann. „Isometrisch“ ist dabei im Sinne der riemannschen Geometrie gemeint: Die Längen von Tangentialvektoren und die Längen von Kurven in der Mannigfaltigkeit bleiben erhalten. Die übliche euklidische Metrik von sollte in der eingebetteten Untermannigfaltigkeit die vorgegebene Metrik der Riemannschen Mannigfaltigkeit induzieren, so dass in lokalen Koordinaten für die Einbettung gilt: Man kann sich riemannsche Mannigfaltigkeiten also stets als Untermannigfaltigkeiten eines euklidischen Raumes vorstellen. Die Dimension des euklidischen Raums ist dabei im Allgemeinen allerdings deutlich größer als die der riemannschen Mannigfaltigkeit. Das analoge Ergebnis für gewöhnliche differenzierbare Mannigfaltigkeiten ist der Einbettungssatz von Whitney, der wesentlich einfacherer Natur ist. Eine Einbettung im lokalen reell analytischen Fall wurde von Élie Cartan und Maurice Janet 1926 bewiesen (mit , wobei die Dimension der Riemannschen Mannigfaltigkeit ist). Nash bewies die Möglichkeit der globalen Einbettung zunächst für differenzierbare Einbettungen in (verbessert durch Nicolaas Kuiper), dann im Fall . Im globalen reell analytischen Fall gab Nash 1966 einen Beweis. Der Beweis von Nash ist 1989 durch Matthias Günther (Universität Leipzig) vereinfacht worden. Es ergeben sich jeweils Schranken für die Höhe der Dimension des abhängig von der Dimension der einzubettenden Riemannschen Mannigfaltigkeit , zum Beispiel im Fall durch Nash und Kuiper . Im Fall zeigte Nash 1956 die Existenz einer globalen Einbettung für (kompakte Mannigfaltigkeit ), bzw. (nicht-kompakter Fall). In seiner Arbeit von 1956 legte Nash auch die Grundlagen für die Nash-Moser-Technik, die vielfach Anwendung in der Theorie nichtlinearer partieller Differentialgleichungen fand. (de) Los teoremas de inmersión de Nash, llamados así por John Forbes Nash, establecen que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente embebida en un espacio euclídeo Rn. "Isométricamente" significa "preservando la longitud de las curvas". Este teorema establece que cada variedad de Riemann puede ser visualizada como una subvariedad del espacio euclídeo. El primer teorema es para funciones de clase C1, mientras que el segundo teorema es para funciones analíticas o de clase Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. Ambos teoremas son muy diferentes entre sí.La prueba del primero de ellos es muy simple, mientras que la del segundo es muy técnica aunque el resultado no es en absoluto inesperado. El teorema para funciones C1 fue publicado en 1954, el teorema para funciones Ck en 1956, y el caso para funciones analíticas en 1966 por John Forbes Nash. (es) En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien. « De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ».Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien. Il existe deux théorèmes de plongement de Nash : * Le premier (1954), portant sur les variétés de classe C1. Il est peu intuitif mais se démontre facilement. * Le second (1956), portant sur les variétés de classe Ck où k ≥ 3. Celui-ci est plus intuitif que le premier, mais se démontre difficilement. (fr) The Nash embedding theorems (or imbedding theorems), named after John Forbes Nash Jr., state that every Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space. Isometric means preserving the length of every path. For instance, bending but neither stretching nor tearing a page of paper gives an isometric embedding of the page into Euclidean space because curves drawn on the page retain the same arclength however the page is bent. The first theorem is for continuously differentiable (C1) embeddings and the second for embeddings that are analytic or smooth of class Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. These two theorems are very different from each other. The first theorem has a very simple proof but leads to some counterintuitive conclusions, while the second theorem has a technical and counterintuitive proof but leads to a less surprising result. The C1 theorem was published in 1954, the Ck-theorem in 1956. The real analytic theorem was first treated by Nash in 1966; his argument was simplified considerably by . (A local version of this result was proved by Élie Cartan and Maurice Janet in the 1920s.) In the real analytic case, the smoothing operators (see below) in the Nash inverse function argument can be replaced by Cauchy estimates. Nash's proof of the Ck- case was later extrapolated into the h-principle and Nash–Moser implicit function theorem. A simpler proof of the second Nash embedding theorem was obtained by who reduced the set of nonlinear partial differential equations to an elliptic system, to which the contraction mapping theorem could be applied. (en) ジョン・フォーブス・ナッシュ (John Forbes Nash) の名に因んだナッシュの埋め込み定理 (Nash embedding theorems (or imbedding theorems)) は、すべてのリーマン多様体はユークリッド空間の中へ等長に埋め込むことができるという定理である。等長とは、すべてのの長さが保存されることを意味する。例えば、紙のページを引き伸ばしたり破ったりすることなしに折り曲げると、ページのユークリッド空間へのになる。ページに描かれた曲線はページが折り曲げられても同じ長さのままであるからだ。 第一の定理は、連続微分可能な（C1 級の）埋め込みに対するものであり、第二の定理は、解析的な埋め込みと、3 ≤ k ≤ ∞ に対して Ck 級の滑らかさを持つ埋め込みに関するものである。これらの 2つの定理は、互いに非常に異なっている。第一の定理は非常に容易に証明でき、非常に反直感的な結果を導くが、一方第二の定理の証明は非常に技巧的であるが結果はそれほど驚くようなものではない。 C1 定理は1954年に、Ck 定理は1956年に出版された。実解析的な定理は最初ナッシュにより1966年に扱われた。彼の議論は により非常に簡素化された。（この結果の局所版は、1920年代にエリ・カルタン (Élie Cartan) と (Maurice Janet) により証明された。）実解析的な場合は、ナッシュの逆関数の議論における smoothing operator（以下を参照）を、コーシーの評価に取り替えることができる。Ck の場合のナッシュの証明は、後に、 (h-principle) や (Nash–Moser implicit function theorem) へ拡張された。第二のナッシュの埋め込み定理の簡素化された証明は、 により得られた。彼は非線型偏微分方程式系を楕円系に帰着させ、が適用できるようにした。 (ja) De inbeddingstelling van Nash (ook wel de inbeddingsstellingen van Nash; vernoemd naar John Forbes Nash), stelt dat elke Riemann-variëteit isometrisch kan worden ingebed in een willekeurige Euclidische ruimte. Isometrisch betekent dat de lengte van elk pad bewaard blijft. Het buigen zonder uitrekken of het scheuren van een papieren blad geeft bijvoorbeeld een isometrische inbedding van dit blad in de Euclidische ruimte, omdat krommen die op dit papieren blad zijn getekend, wanneer dit blad wordt gebogen, dezelfde booglengte behouden. (nl) Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально,всякое -мерное риманово многообразие класса , ,допускает изометрическое вложение в для достаточно большого . Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку , которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для . В доказательстве был введён новый метод решения дифференциальных уравнений, так называемая теорема Нэша — Мозера изначально доказанная Нэшем.Существенное упрощение этой части доказательства было дано Матиасом Гюнтером.Его метод был слегка упрощён в нескольких заметкахДэна ЯнгаТеренсa Тао и Ральфа Хоурда (ru) Os teoremas de imersão de Nash, chamados assim em homenagem a John Forbes Nash, estabelecem que cada variedade de Riemann pode ser isometricamente imersa em um espaço euclidiano Rn. "Isometricamente" significa "preservando o comprimento das curvas". Este teorema estabelece que cada variedade Riemanniana pode ser visualizada como uma subvariedade do espaço euclidiano. O primeiro teorema é para funções de classe C1, sendo que o segundo é para funções analíticas ou de classe Ck, 3 ≤ k ≤ ∞. Ambos teoremas são muito diferentes entre si.A demonstração do primeiro é bastante simples; e a do segundo é muito técnica, apesar do resultado não ser absolutamente inesperado. O teorema para funções C1 foi publicado em 1954; o teorema para funções Ck em 1956; e o caso para funções analíticas em 1966 por John Forbes Nash. (pt) 納許嵌入定理(Nash embedding theorems)：，以约翰·福布斯·纳什命名，指出每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间 Rn。 「等距」表示「保持曲线长度」。因此，该结果表明每个黎曼流形可以看作是欧几里得空间的子流形。第一个定理适用于 C1-光滑嵌入，第二个用于解析或Ck, 3 ≤ k ≤ ∞的情形。两个定理非常不同；第一个有很简单的证明但有一些很違反直觀的結果，而第二个非常具有技术性但其结论比較不太出乎意料。 C1定理發表于1954年，Ck定理發表于1956年。解析的情形则最先由納什于1966年處理，其中的論證後來在)中簡化了很多。（這個定理的一個局部版本由埃利·嘉當與Maurice Janet 在1920年代證出。）納什對Ck的證明後來发展成和。納什的第二個嵌入定理的一個簡化證明由)給出，方法是將納什的非線性偏微分方程組約化成橢圓系統，而壓縮映射定理能夠應用於後者。 (zh) |
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| dbp:1loc | Chapter 21 (en) Corollary 6.2.2 (en) Corollary VII.4.8 (en) Corollary VII.5.4 and Note 15 (en) Note 18 (en) Section 2.4 (en) Theorem VII.5.3 (en) Theorem VII.5.6 (en) |
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(nl) 納許嵌入定理(Nash embedding theorems)：，以约翰·福布斯·纳什命名，指出每个黎曼流形可以等距嵌入到欧几里得空间 Rn。 「等距」表示「保持曲线长度」。因此，该结果表明每个黎曼流形可以看作是欧几里得空间的子流形。第一个定理适用于 C1-光滑嵌入，第二个用于解析或Ck, 3 ≤ k ≤ ∞的情形。两个定理非常不同；第一个有很简单的证明但有一些很違反直觀的結果，而第二个非常具有技术性但其结论比較不太出乎意料。 C1定理發表于1954年，Ck定理發表于1956年。解析的情形则最先由納什于1966年處理，其中的論證後來在)中簡化了很多。（這個定理的一個局部版本由埃利·嘉當與Maurice Janet 在1920年代證出。）納什對Ck的證明後來发展成和。納什的第二個嵌入定理的一個簡化證明由)給出，方法是將納什的非線性偏微分方程組約化成橢圓系統，而壓縮映射定理能夠應用於後者。 (zh) Els teoremes d'immersió de Nash (o teoremes d'immersió), anomenats així en honor a John Forbes Nash Jr., afirmen que cada varietat de Riemann pot ser isomètricament immers en algun espai euclidià. Isomètric significa preservar la longitud de cada camí. Per exemple, doblegar però ni estirar ni trencar una pàgina de paper dóna una immersió isomètrica de la pàgina a l'espai euclidià perquè les corbes dibuixades a la pàgina mantenen la mateixa longitud d'arc però la pàgina està doblegada. (ca) Der Einbettungssatz von Nash (nach John Forbes Nash Jr.) ist ein Ergebnis aus dem mathematischen Teilgebiet der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass jede riemannsche Mannigfaltigkeit isometrisch in einen euklidischen Raum für ein geeignetes eingebettet werden kann. „Isometrisch“ ist dabei im Sinne der riemannschen Geometrie gemeint: Die Längen von Tangentialvektoren und die Längen von Kurven in der Mannigfaltigkeit bleiben erhalten. Die übliche euklidische Metrik von sollte in der eingebetteten Untermannigfaltigkeit die vorgegebene Metrik der Riemannschen Mannigfaltigkeit induzieren, so dass in lokalen Koordinaten für die Einbettung gilt: (de) En géométrie différentielle, le théorème de plongement de Nash, dû au mathématicien John Forbes Nash, affirme que toute variété riemannienne peut être plongée de manière isométrique dans un espace euclidien. « De manière isométrique » veut dire « conservant la longueur des courbes ».Une conséquence de ce théorème est que toute variété riemannienne peut être vue comme une sous-variété d'un espace euclidien. Il existe deux théorèmes de plongement de Nash : (fr) The Nash embedding theorems (or imbedding theorems), named after John Forbes Nash Jr., state that every Riemannian manifold can be isometrically embedded into some Euclidean space. Isometric means preserving the length of every path. For instance, bending but neither stretching nor tearing a page of paper gives an isometric embedding of the page into Euclidean space because curves drawn on the page retain the same arclength however the page is bent. (en) Los teoremas de inmersión de Nash, llamados así por John Forbes Nash, establecen que cada variedad de Riemann puede ser isométricamente embebida en un espacio euclídeo Rn. "Isométricamente" significa "preservando la longitud de las curvas". Este teorema establece que cada variedad de Riemann puede ser visualizada como una subvariedad del espacio euclídeo. El teorema para funciones C1 fue publicado en 1954, el teorema para funciones Ck en 1956, y el caso para funciones analíticas en 1966 por John Forbes Nash. (es) ジョン・フォーブス・ナッシュ (John Forbes Nash) の名に因んだナッシュの埋め込み定理 (Nash embedding theorems (or imbedding theorems)) は、すべてのリーマン多様体はユークリッド空間の中へ等長に埋め込むことができるという定理である。等長とは、すべてのの長さが保存されることを意味する。例えば、紙のページを引き伸ばしたり破ったりすることなしに折り曲げると、ページのユークリッド空間へのになる。ページに描かれた曲線はページが折り曲げられても同じ長さのままであるからだ。 第一の定理は、連続微分可能な（C1 級の）埋め込みに対するものであり、第二の定理は、解析的な埋め込みと、3 ≤ k ≤ ∞ に対して Ck 級の滑らかさを持つ埋め込みに関するものである。これらの 2つの定理は、互いに非常に異なっている。第一の定理は非常に容易に証明でき、非常に反直感的な結果を導くが、一方第二の定理の証明は非常に技巧的であるが結果はそれほど驚くようなものではない。 (ja) Теорема Нэша о регулярных вложениях, иногда называемая основная теорема римановой геометрии, — утверждение о том, что любое риманово многообразие допускает гладкое вложение в евклидово пространство достаточно высокой размерности. Формально,всякое -мерное риманово многообразие класса , ,допускает изометрическое вложение в для достаточно большого . Установлена американским математиком Джоном Нэшем, Нэш также дал явную оценку , которая позднее несколько раз улучшалась, в частности теорема справедлива для . (ru) Os teoremas de imersão de Nash, chamados assim em homenagem a John Forbes Nash, estabelecem que cada variedade de Riemann pode ser isometricamente imersa em um espaço euclidiano Rn. "Isometricamente" significa "preservando o comprimento das curvas". Este teorema estabelece que cada variedade Riemanniana pode ser visualizada como uma subvariedade do espaço euclidiano. O teorema para funções C1 foi publicado em 1954; o teorema para funções Ck em 1956; e o caso para funções analíticas em 1966 por John Forbes Nash. (pt) |
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