Linear recurrence with constant coefficients (original) (raw)
Lineare Differenzengleichungen (auch lineare Rekursionsgleichungen, selten C-Rekursionen oder lineare Rekurrenz von engl. linear recurrence relation) sind Beziehungen einer besonders einfachen Form zwischen den Gliedern einer Folge.
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| dbo:abstract | Lineare Differenzengleichungen (auch lineare Rekursionsgleichungen, selten C-Rekursionen oder lineare Rekurrenz von engl. linear recurrence relation) sind Beziehungen einer besonders einfachen Form zwischen den Gliedern einer Folge. (de) En matemáticas, se define una ecuación en diferencias lineal o relación de recurrencia lineal como una sucesión definida en función de elementos anteriores de esa misma sucesión para todo n no negativo y sus términos únicamente pueden tener grado 0 y 1 para cumplir que sea lineal. Se define una ecuación en diferencias lineal de grado k como: , donde puede ser una constante, un polinomio o una función exponencial en función de n. Si , es decir, que sea la constante 0 se tratará de una ecuación lineal en diferencias homogénea. Sus aplicaciones están relacionadas principalmente con el tratamiento de sistemas dinámicos donde las relaciones de recurrencia puedan moldear de manera adecuada este tipo de sistema. (es) In mathematics (including combinatorics, linear algebra, and dynamical systems), a linear recurrence with constant coefficients (also known as a linear recurrence relation or linear difference equation) sets equal to 0 a polynomial that is linear in the various iterates of a variable—that is, in the values of the elements of a sequence. The polynomial's linearity means that each of its terms has degree 0 or 1. A linear recurrence denotes the evolution of some variable over time, with the current time period or discrete moment in time denoted as t, one period earlier denoted as t − 1, one period later as t + 1, etc. The solution of such an equation is a function of t, and not of any iterate values, giving the value of the iterate at any time. To find the solution it is necessary to know the specific values (known as initial conditions) of n of the iterates, and normally these are the n iterates that are oldest. The equation or its variable is said to be stable if from any set of initial conditions the variable's limit as time goes to infinity exists; this limit is called the steady state. Difference equations are used in a variety of contexts, such as in economics to model the evolution through time of variables such as gross domestic product, the inflation rate, the exchange rate, etc. They are used in modeling such time series because values of these variables are only measured at discrete intervals. In econometric applications, linear difference equations are modeled with stochastic terms in the form of autoregressive (AR) models and in models such as vector autoregression (VAR) and autoregressive moving average (ARMA) models that combine AR with other features. (en) 数学において、p-階の線型回帰数列（せんけいかいきすうれつ、英: linear recurrence sequence; 線型循環数列）とは、各項がある可換体 K（典型的には複素数体 C や実数体 R）に値をとる数列であって、体 K の p 個のスカラー a0, a1, …, ap−1 (a0 ≠ 0) が存在して、任意の n ≥ n0 に対して、p-階の線型漸化式 を満たすものの総称である。より一般には、係数 ai は n の函数とすることもできるが、本項においては基本的に定数係数の場合を扱う。このような数列は、最初の p 項（初期値あるいは初期条件と呼ばれる）が決まれば、残りの項は漸化式に従ってすべて一意に決定される。この数列または漸化式（離散力学系）が安定であるとは、任意の初期値集合に対して n を無限大に飛ばした極限（定常状態）が存在するときに言う。 高階の線型回帰列を調べることは線型代数学に属する問題である。そのような列の一般項は、列に付随する特性多項式と呼ばれる多項式の根が求まれば、それらによって記述することができる。上記の漸化式を満たす列に付随する特性多項式は で与えられ、特性多項式の根は特性根と呼ばれる。特性多項式の次数は漸化式の階数に等しい。特に二階の回帰列の場合には、特性多項式の次数も 2 であり、その根の様子はを用いて知ることができる。故に、二階線型回帰列は最初の二項の値のみから初等的な算術演算（和・差・積・冪）と正弦・余弦函数（考える体が実数体の場合）を用いて記述することができる。この種の数列の例には、よく知られたフィボナッチ数列があり、その各項は黄金比の冪を使って書くことができる。 一般に差分方程式は様々な文脈で用いられ、例えば経済学において、国内総生産やインフレ率、為替レートなどの時間発展する変数をモデル化する。差分方程式をそのような時系列のモデル化に用いるのは、それら変数の値が離散的間隔でのみ測られるからである。そのような応用において、線型差分方程式は自己回帰モデル (AR) や AR とその他の特徴を組み合わせた (VAR) および自己回帰移動平均モデル (ARMA) など、推計学的な言葉でモデル付けられる。 (ja) |
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