Lyapunov stability (original) (raw)
En matemáticas, la noción de estabilidad de Liapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos. De manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio de la ecuación diferencial homogénea es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en un entorno de se mantienen cerca de para todo tiempo posterior. Esta definición de estabilidad lleva el nombre de Aleksandr Liapunov, quien publicó en 1892 su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento, donde define este concepto.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En matematiko kaj rega teorio, la stabileco estas propreco, kiun povas havi . Se ĉiuj solvoj de la dinamika sistemo kiuj komenciĝas proksime al ekvilibra punkto xe restas proksime de xe eterne, do xe estas liapunova stabila. Pli forte, se xe estas lapunova stabila kaj ĉiuj solvoj, kiuj komenciĝas proksime al xe konverĝas al xe, do xe estas asimptote stabila. La okazo de eksponenta stabileco garantias minimuman kurson de konverĝo, kio estas, pritakso de tio kiel rapide la solvoj konverĝas. La ideo de liapunova stabileco povas esti etendita al malfinidimensiaj sternaĵoj, kie ĝi estas sciata kiel , kiu koncernas la konduton de malsamaj sed apudaj solvoj al diferencialaj ekvacioj. La liapunova stabileco estas nomita laŭ Aleksandr Miĥajloviĉ Liapunov (ru:Александр Михайлович Ляпунов). (eo) Various types of stability may be discussed for the solutions of differential equations or difference equations describing dynamical systems. The most important type is that concerning the stability of solutions near to a point of equilibrium. This may be discussed by the theory of Aleksandr Lyapunov. In simple terms, if the solutions that start out near an equilibrium point stay near forever, then is Lyapunov stable. More strongly, if is Lyapunov stable and all solutions that start out near converge to , then is asymptotically stable. The notion of exponential stability guarantees a minimal rate of decay, i.e., an estimate of how quickly the solutions converge. The idea of Lyapunov stability can be extended to infinite-dimensional manifolds, where it is known as structural stability, which concerns the behavior of different but "nearby" solutions to differential equations. Input-to-state stability (ISS) applies Lyapunov notions to systems with inputs. Lyapunov stability theory has no application to conservative systems such as the restricted three-body problem which do not exhibit asymptotic stability. (en) En matemáticas, la noción de estabilidad de Liapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos. De manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio de la ecuación diferencial homogénea es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en un entorno de se mantienen cerca de para todo tiempo posterior. Esta definición de estabilidad lleva el nombre de Aleksandr Liapunov, quien publicó en 1892 su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento, donde define este concepto. (es) En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire, etc. Un exemple typique de système stable au sens de Liapounov est celui constitué d'une bille roulant sans frottement au fond d'une coupelle ayant la forme d'une demi-sphère creuse : après avoir été écartée de sa position d'équilibre (qui est le fond de la coupelle), la bille oscille autour de cette position, sans s'éloigner davantage : la composante tangentielle de la force de gravité ramène constamment la bille vers sa position d'équilibre. En présence d'un frottement visqueux (si l'on ajoute par exemple un peu d'huile au fond de la coupelle), les oscillations de la bille sont amorties et celle-ci revient à sa position d'équilibre au bout d'un certain temps (théoriquement infiniment long) : cet amortissement est dû à la dissipation d'énergie sous forme de chaleur. Le système est alors asymptotiquement stable. Si maintenant on retourne la coupelle, le sommet de celle-ci (ayant toujours la forme d'une demi-sphère) est encore une position d'équilibre pour la bille. Mais à présent, si l'on écarte la bille d'une quantité infinitésimale en absence de frottement, cette bille se met à rouler sur la paroi de la coupelle en tombant ; elle s'écarte sans retour de sa position d'équilibre, car la composante tangentielle de la force de gravité éloigne constamment la bille de sa position d'équilibre. Un tel système est dit instable. De manière moins imagée, si tout mouvement d'un système issu d'un voisinage suffisamment petit d'un point d'équilibre demeure au voisinage de ce point, alors est dit stable au sens de Liapounov (rigoureusement parlant, ce n'est pas un système dynamique qui peut être stable au sens de Liapounov mais un point d'équilibre de ce système ; certains systèmes peuvent avoir plusieurs points d'équilibre, les uns stables, les autres instables). Le théorème central d'Alexandre Liapounov dit qu'un point d'équilibre est stable (au sens de Liapounov) pour un système dynamique (décrit par une équation différentielle du type ) si et seulement s'il existe une fonction vérifiant certaines conditions précises et liées à la fonction de l'équation différentielle et à . Le problème de la stabilité se ramène donc à chercher une telle fonction (dite fonction de Liapounov), souvent par tâtonnement. Les conditions que doit vérifier une fonction de Liapounov du problème dynamique (purement mathématique) rappellent les conditions que doit vérifier l'énergie potentielle pour qu'il y ait stabilité d'un point d'équilibre d'un système physique (voir, infra, le premier et le troisième paragraphe de l'introduction historique : Stabilité au sens de Lagrange-Dirichlet et L’œuvre de Liapounov). D'autres notions de stabilité peuvent être traitées de manière similaire. Par exemple : * la stabilité asymptotique (si tout mouvement issu d'un voisinage suffisamment petit U de reste au voisinage de ce point et converge vers ). Cette stabilité asymptotique est dite globale si U est l'espace tout entier ; * la stabilité structurelle (si lorsque l'équation différentielle est perturbée par un terme suffisamment petit, ses orbites ou trajectoires restent peu modifiées). Les cas d'instabilité peuvent donner lieu à des comportements chaotiques. Dans le cas de systèmes linéaires aux paramètres incertains, la recherche d'une fonction de Liapounov peut se formaliser en un problème d'optimisation et, lorsque celui-ci est convexe, il existe des algorithmes de résolution efficaces. Il existe également des méthodes permettant de réaliser un bouclage de manière qu'une fonction de Liapounov, choisie à l'avance, garantisse la stabilité. (fr) In matematica, la stabilità interna o stabilità di Ljapunov di un sistema dinamico è un modo per caratterizzare la stabilità delle traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi in seguito ad una sua perturbazione in prossimità di un punto di equilibrio. Un punto di equilibrio è detto stabile (secondo Ljapunov) se ogni orbita del sistema che parte sufficientemente vicina al punto di equilibrio rimane nelle vicinanze del punto di equilibrio, ed è detto asintoticamente stabile se l'orbita converge al punto al crescere infinito del tempo. (it) 동역학계 이론에서 랴푸노프 안정성(Ляпунов安定性, 영어: Lyapunov stability)은 동역학계의 평형점이 가질 수 있는 안정성 성질 가운데 하나이다. 대략, 랴푸노프 안정 평형점 부근에서 시작하는 동역학계의 모든 해는 영원히 이 평형점 주변에 머무르게 된다. 랴푸노프 안정성보다 더 강한 개념으로 점근적 안정성(漸近的安定性, 영어: asymptotic stability)과 지수적 안정성(指數的安定性, 영어: exponential stability)이 있다. (ko) 力学系の平衡点の近傍から出発する軌道が平衡点の近くに留まり続けるとき、その平衡点はリアプノフ安定（リアプノフあんてい、英: Lyapunov stable）であるという。 (ja) Metody Lapunowa – służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego. (pl) В математиці, рішення диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по Ляпунову, асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції. (uk) Na teoria dos sistemas dinâmicos, a estabilidade de um sistema é a capacidade que um sistema possui de esquecer o seu passado conforme o tempo tende a infinito. Mais precisamente, um sistema dinâmico é dito assimptoticamente estável se tende ao seu(s) ponto(s) de equilíbrio(s) quando submetido à ingresso constante. No caso dos sistemas lineares isto significa que o movimento livre do sistema tende para zero com o passar do tempo. Quando um sistema atinge o ponto de equilibrio se diz entrou em . (pt) Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем. (ru) 在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英語：Lyapunov stability，或李亞普诺夫稳定性）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 附近的軌跡均能維持在 附近，那么该系统可以称为在處李雅普诺夫稳定。 若任何初始條件在 附近的軌跡最後都趨近，那么该系统可以称为在處漸近稳定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。 李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。 (zh) |
| dbo:wikiPageExternalLink | https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ https://archive.org/details/springer_10.1007-b97481%7C |
| dbo:wikiPageID | 363360 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 23700 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1118576007 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Providence,_Rhode_Island dbr:Dynamical_system dbr:Libration_point_orbit dbc:Lagrangian_mechanics dbr:Continuous_function dbc:Three-body_orbits dbr:Eigenvalue dbr:Energy dbr:Control_engineering dbr:Control_theory dbr:LaSalle's_invariance_principle dbr:Perturbation_theory dbr:Stability_theory dbr:Structural_stability dbr:Markus–Yamabe_conjecture dbr:Cold_War_(1953–62) dbr:Joint_spectral_radius dbr:Linear_system dbr:Positive-definite_function dbr:Absolute_value dbr:Aleksandr_Lyapunov dbr:Aleksandr_Mikhailovich_Lyapunov dbr:American_Mathematical_Society dbr:Nikolay_Gur'yevich_Chetaev dbr:Differential_equation dbr:Lemma_(mathematics) dbr:Attractor dbr:Jacobian_matrix_and_determinant dbr:Hurwitz_matrix dbr:State_space_representation dbr:Asymptotic_analysis dbc:Dynamical_systems dbr:Chaos_theory dbr:Homoclinic_orbit dbr:Difference_equation dbr:Autonomous_system_(mathematics) dbc:Stability_theory dbr:BIBO_stability dbr:Positive-definite_matrix dbr:Guidance_system dbr:Input-to-state_stability dbr:Metric_space dbr:Lyapunov_exponent dbr:Lyapunov_function dbr:Van_der_Pol_oscillator dbr:Exponential_stability dbr:Stable_manifold dbr:Non-autonomous_system_(mathematics) dbr:Nonlinear_system dbr:State_space_(controls) dbr:Discrete-time dbr:Restricted_three-body_problem dbr:Springer_Verlag |
| dbp:id | 4679 (xsd:integer) |
| dbp:title | asymptotically stable (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:About dbt:Authority_control dbt:Citation_needed dbt:Cite_book dbt:Cite_journal dbt:Cite_thesis dbt:Lead_rewrite dbt:Reflist dbt:Short_description dbt:Differential_equations_topics dbt:PlanetMath_attribution dbt:Astrodynamics |
| dct:subject | dbc:Lagrangian_mechanics dbc:Three-body_orbits dbc:Dynamical_systems dbc:Stability_theory |
| rdf:type | owl:Thing yago:Abstraction100002137 yago:Attribute100024264 yago:Communication100033020 yago:DifferentialEquation106670521 yago:DynamicalSystem106246361 yago:Equation106669864 yago:MathematicalStatement106732169 yago:Message106598915 yago:PhaseSpace100029114 yago:Space100028651 yago:Statement106722453 yago:WikicatDifferentialEquations yago:WikicatDynamicalSystems |
| rdfs:comment | En matemáticas, la noción de estabilidad de Liapunov se da en el estudio de los sistemas dinámicos. De manera esquemática, diremos que un punto de equilibrio de la ecuación diferencial homogénea es estable si todas las soluciones a la ecuación que parten en un entorno de se mantienen cerca de para todo tiempo posterior. Esta definición de estabilidad lleva el nombre de Aleksandr Liapunov, quien publicó en 1892 su tesis de doctorado El problema general de la estabilidad del movimiento, donde define este concepto. (es) In matematica, la stabilità interna o stabilità di Ljapunov di un sistema dinamico è un modo per caratterizzare la stabilità delle traiettorie compiute dal sistema nello spazio delle fasi in seguito ad una sua perturbazione in prossimità di un punto di equilibrio. Un punto di equilibrio è detto stabile (secondo Ljapunov) se ogni orbita del sistema che parte sufficientemente vicina al punto di equilibrio rimane nelle vicinanze del punto di equilibrio, ed è detto asintoticamente stabile se l'orbita converge al punto al crescere infinito del tempo. (it) 동역학계 이론에서 랴푸노프 안정성(Ляпунов安定性, 영어: Lyapunov stability)은 동역학계의 평형점이 가질 수 있는 안정성 성질 가운데 하나이다. 대략, 랴푸노프 안정 평형점 부근에서 시작하는 동역학계의 모든 해는 영원히 이 평형점 주변에 머무르게 된다. 랴푸노프 안정성보다 더 강한 개념으로 점근적 안정성(漸近的安定性, 영어: asymptotic stability)과 지수적 안정성(指數的安定性, 영어: exponential stability)이 있다. (ko) 力学系の平衡点の近傍から出発する軌道が平衡点の近くに留まり続けるとき、その平衡点はリアプノフ安定（リアプノフあんてい、英: Lyapunov stable）であるという。 (ja) Metody Lapunowa – służą do określania stabilności punktu równowagi układu nieliniowego. (pl) В математиці, рішення диференціального рівняння (або, ширше, траєкторія в фазовому просторі точки стану динамічної системи) називається стійким, якщо поведінка рішень з умовами близькими до початкових «не сильно відрізняється» від поведінки вихідного рішення. Слова «не сильно відрізняється» при цьому можна формалізувати по-різному, отримуючи різні формальні визначення стійкості: стійкість по Ляпунову, асимптотичну стійкість і т.д. (див. нижче). Зазвичай розглядається задача про стійкість тривіального рішення в особливій точці, оскільки завдання про стійкість довільної траєкторії зводиться до даної шляхом заміни невідомої функції. (uk) Na teoria dos sistemas dinâmicos, a estabilidade de um sistema é a capacidade que um sistema possui de esquecer o seu passado conforme o tempo tende a infinito. Mais precisamente, um sistema dinâmico é dito assimptoticamente estável se tende ao seu(s) ponto(s) de equilíbrio(s) quando submetido à ingresso constante. No caso dos sistemas lineares isto significa que o movimento livre do sistema tende para zero com o passar do tempo. Quando um sistema atinge o ponto de equilibrio se diz entrou em . (pt) Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем. (ru) 在数学和自动控制领域中，李雅普诺夫稳定性（英語：Lyapunov stability，或李亞普诺夫稳定性）可用來描述一個动力系统的穩定性。如果此动力系统任何初始條件在 附近的軌跡均能維持在 附近，那么该系统可以称为在處李雅普诺夫稳定。 若任何初始條件在 附近的軌跡最後都趨近，那么该系统可以称为在處漸近稳定。指數穩定可用來保證系統最小的衰減速率，也可以估計軌跡收斂的快慢。 李雅普诺夫稳定性可用在線性及非線性的系統中。不過線性系統的穩定性可由其他方式求得，因此李雅普诺夫稳定性多半用來分析非線性系統的穩定性。李亞普诺夫稳定性的概念可以延伸到無限維的流形，即為，是考慮微分方程中一群不同但「接近」的解的行為。輸入-狀態穩定性（ISS）則是將李雅普诺夫稳定性應用在有輸入的系統。 (zh) En matematiko kaj rega teorio, la stabileco estas propreco, kiun povas havi . Se ĉiuj solvoj de la dinamika sistemo kiuj komenciĝas proksime al ekvilibra punkto xe restas proksime de xe eterne, do xe estas liapunova stabila. Pli forte, se xe estas lapunova stabila kaj ĉiuj solvoj, kiuj komenciĝas proksime al xe konverĝas al xe, do xe estas asimptote stabila. La okazo de eksponenta stabileco garantias minimuman kurson de konverĝo, kio estas, pritakso de tio kiel rapide la solvoj konverĝas. (eo) Various types of stability may be discussed for the solutions of differential equations or difference equations describing dynamical systems. The most important type is that concerning the stability of solutions near to a point of equilibrium. This may be discussed by the theory of Aleksandr Lyapunov. In simple terms, if the solutions that start out near an equilibrium point stay near forever, then is Lyapunov stable. More strongly, if is Lyapunov stable and all solutions that start out near converge to , then is asymptotically stable. The notion of exponential stability guarantees a minimal rate of decay, i.e., an estimate of how quickly the solutions converge. The idea of Lyapunov stability can be extended to infinite-dimensional manifolds, where it is known as structural stability (en) En mathématiques et en automatique, la notion de stabilité de Liapounov (ou, plus correctement, de stabilité au sens de Liapounov) apparaît dans l'étude des systèmes dynamiques. De manière générale, la notion de stabilité joue également un rôle en mécanique, dans les modèles économiques, les algorithmes numériques, la mécanique quantique, la physique nucléaire, etc. D'autres notions de stabilité peuvent être traitées de manière similaire. Par exemple : Les cas d'instabilité peuvent donner lieu à des comportements chaotiques. (fr) |
| rdfs:label | Stabileco de dinamika sistemo (eo) Estabilidad de Liapunov (es) Stabilità interna (it) Stabilité de Liapounov (fr) Lyapunov stability (en) リアプノフ安定 (ja) 랴푸노프 안정성 (ko) Metody Lapunowa (pl) Устойчивость (динамические системы) (ru) Estabilidade assimptótica (pt) Стійкість (динамічні системи) (uk) 李雅普诺夫稳定性 (zh) |
| owl:sameAs | freebase:Lyapunov stability yago-res:Lyapunov stability http://d-nb.info/gnd/4167992-1 wikidata:Lyapunov stability dbpedia-eo:Lyapunov stability dbpedia-es:Lyapunov stability dbpedia-fa:Lyapunov stability dbpedia-fr:Lyapunov stability dbpedia-he:Lyapunov stability dbpedia-it:Lyapunov stability dbpedia-ja:Lyapunov stability dbpedia-ko:Lyapunov stability dbpedia-pl:Lyapunov stability dbpedia-pt:Lyapunov stability dbpedia-ru:Lyapunov stability dbpedia-uk:Lyapunov stability dbpedia-vi:Lyapunov stability dbpedia-zh:Lyapunov stability https://global.dbpedia.org/id/MBbL |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Lyapunov_stability?oldid=1118576007&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Lyapunov_stability |
| is dbo:knownFor of | dbr:Aleksandr_Lyapunov |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Stability dbr:Lyapunov |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Lyapunov_stable dbr:Barbalat's_lemma dbr:Asymptotic_stability dbr:Asymptotically_stable dbr:Lyapunov_Theory dbr:Lyapunov's_theory dbr:Lyapunov_theory dbr:IsL |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Pycnonuclear_fusion dbr:Queqiao_relay_satellite dbr:Mironenko_reflecting_function dbr:Vladimir_Mironenko dbr:M-matrix dbr:Passivity_(engineering) dbr:José_Luis_Massera dbr:Petar_V._Kokotovic dbr:Relativistic_heat_conduction dbr:Dynamical_system dbr:Index_of_electrical_engineering_articles dbr:Libration_point_orbit dbr:List_of_lemmas dbr:Comparison_function dbr:Control-Lyapunov_function dbr:Convolutional_sparse_coding dbr:Generalized_Lotka–Volterra_equation dbr:Nyquist_stability_criterion dbr:Superradiant_phase_transition dbr:Glossary_of_electrical_and_electronics_engineering dbr:Muthusamy_Lakshmanan dbr:Control_theory dbr:LaSalle's_invariance_principle dbr:Vakhitov–Kolokolov_stability_criterion dbr:Linear_recurrence_with_constant_coefficients dbr:Lissajous_orbit dbr:Logistic_map dbr:Lyapunov_stable dbr:Mangalore_Anantha_Pai dbr:Sliding_mode_control dbr:Community_matrix dbr:Competitive_Lotka–Volterra_equations dbr:Perturbation_theory dbr:Numerical_stability dbr:Orbital_stability dbr:Stability dbr:Stability_theory dbr:Structural_stability dbr:Takuma_Yasui dbr:Mathematical_and_theoretical_biology dbr:Backstepping dbr:Adaptive_control dbr:Wassim_Michael_Haddad dbr:Dissipative_system dbr:Distant_retrograde_orbit dbr:Joint_spectral_radius dbr:Linear_stability dbr:Aleksandr_Andronov dbr:Aleksandr_Lyapunov dbr:Czesław_Olech dbr:Floquet_theory dbr:Foster's_theorem dbr:Gustav_S._Christensen dbr:Hamilton_Institute dbr:Harold_Hotelling dbr:Barbalat's_lemma dbr:Cowles_Foundation dbr:Terminal_sliding_mode dbr:Marginal_stability dbr:Robust_control dbr:Asymptotic_stability dbr:Asymptotically_stable dbr:Characteristic_equation_(calculus) dbr:Bidirectional_associative_memory dbr:Ecological_stability dbr:Heteroclinic_channels dbr:Input-to-state_stability dbr:ISL dbr:System_identification dbr:Lyapunov dbr:Lyapunov_equation dbr:Lyapunov_exponent dbr:Lyapunov_function dbr:State-space_representation dbr:Exponential_stability dbr:Olech_theorem dbr:Stability_criterion dbr:N-body_simulation dbr:Scientific_phenomena_named_after_people dbr:Outline_of_control_engineering dbr:Lyapunov_Theory dbr:Nonlinear_control dbr:Phase-locked_loop_range dbr:Outline_of_electrical_engineering dbr:Strict-feedback_form dbr:Spectral_abscissa dbr:Lyapunov's_theory dbr:Lyapunov_theory dbr:IsL |
| is dbp:knownFor of | dbr:Aleksandr_Lyapunov |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Lyapunov_stability |