Particular values of the Riemann zeta function (original) (raw)
في الرياضيات، دالة زيتا لريمان هي دالة في التحليل العقدي، مهمة أيضا في نظرية الأعداد. عادة ما يرمز إليها بالرمز ζ(s). سُميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. عندما يكون المدخل s عددا حقيقيا أكبر قطعا من الواحد، تحقق دالة زيتا لريمان المعادلة التالية:
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | في الرياضيات، دالة زيتا لريمان هي دالة في التحليل العقدي، مهمة أيضا في نظرية الأعداد. عادة ما يرمز إليها بالرمز ζ(s). سُميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. عندما يكون المدخل s عددا حقيقيا أكبر قطعا من الواحد، تحقق دالة زيتا لريمان المعادلة التالية: (ar) Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine mathematische Funktion, die eine besonders wichtige Rolle in der Zahlentheorie spielt. Für Werte kann sie definiert werden durch die Reihe In diesem Falle streben die einzelnen Summanden schnell genug gegen 0, sodass die Reihe gegen einen festen eindeutigen Wert konvergiert. Es ist ein klassisches mathematisches Problem, welche Werte die Zeta-Funktion an speziellen Stellen besitzt. Ein Beispiel hierfür ist das Basler Problem, das nach dem exakten Wert der Reihe aller kehrwertigen Quadratzahlen fragt, ergo dem Wert : Ein geschlossenes Ergebnis konnte 1734 durch Leonhard Euler gefunden werden. Mit der Kreiszahl erhält man . Durch Erweiterung der Summanden in den Bereich der komplexen Zahlen über die komplexe Exponentialfunktion, mittels , kann die Zeta-Funktion auf die Halbebene auf natürliche Weise ausgeweitet werden. Durch analytische Fortsetzung gelingt sogar eine Fortsetzung zu einer holomorphen Funktion auf alle komplexen Stellen mit Ausnahme von 1. Somit ergeben auch Werte wie ... einen eindeutigen Sinn, und sind für bestimmte zahlentheoretische Fragestellungen von Interesse. (de) En matemática, una constante zeta es el resultado de la función zeta de Riemann cuando esta se aplica sobre un número entero. (es) En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction en analyse complexe, dont l'importance est notable en théorie des nombres. Elle est nommée d'après le mathématicien Bernhard Riemann et on la note souvent ζ(s). Pour un s réel supérieur à 1, elle est définie par Elle peut également servir pour des séries numériques convergentes, comme celle derrière le problème de Bâle . Plusieurs formules explicites ou numériques efficaces existent pour le calcul de ζ(s) pour des valeurs entières, qui ont toutes des valeurs réelles, dont l'exemple cité. Cette page liste ces formules avec des tables de valeurs, ainsi que des séries tirées de la dérivée de ζ ou de compositions avec d'autres séries. La même équation en s reste vraie si s est un nombre complexe dont la partie réelle est supérieure à 1, assurant la convergence. Ainsi, elle peut être prolongée au plan complexe par prolongement analytique, sauf au pole simple en s = 1. La dérivée complexe existe dans cette région plus large, faisant de la fonction zêta une fonction méromorphe. Cependant, l'expression de définition n'est plus valable pour toutes ces valeurs de s, où la sommation diverge. Par exemple, la fonction zêta existe en s = −1 (et y a donc une valeur finie), mais la série correspondante est 1 + 2 + 3 + ..., dont les sommes partielles divergent grossièrement. Les valeurs de la fonction zêta listées ici incluent les valeurs de la fonction aux nombres entiers négatifs pairs (s = −2, −4, etc.), pour lesquels ζ(s) = 0 qui forment les zéros trivaux de la fonction. L'article consacré à la fonction détaille l'importance des zéros non triviaux pour la théorie des nombres. (fr) In mathematics, the Riemann zeta function is a function in complex analysis, which is also important in number theory. It is often denoted ζ(s) and is named after the mathematician Bernhard Riemann. When the argument s is a real number greater than one, the zeta function satisfies the equation It can therefore provide the sum of various convergent infinite series, such as Explicit or numerically efficient formulae exist for ζ(s) at integer arguments, all of which have real values, including this example. This article lists these formulae, together with tables of values. It also includes derivatives and some series composed of the zeta function at integer arguments. The same equation in s above also holds when s is a complex number whose real part is greater than one, ensuring that the infinite sum still converges. The zeta function can then be extended to the whole of the complex plane by analytic continuation, except for a simple pole at s = 1. The complex derivative exists in this more general region, making the zeta function a meromorphic function. The above equation no longer applies for these extended values of s, for which the corresponding summation would diverge. For example, the full zeta function exists at s = −1 (and is therefore finite there), but the corresponding series would be whose partial sums would grow indefinitely large. The zeta function values listed below include function values at the negative even numbers (s = −2, −4, etc.), for which ζ(s) = 0 and which make up the so-called trivial zeros. The Riemann zeta function article includes a colour plot illustrating how the function varies over a continuous rectangular region of the complex plane. The successful characterisation of its non-trivial zeros in the wider plane is important in number theory, because of the Riemann hypothesis. (en) In matematica la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste grandissima importanza per la teoria dei numeri, a causa della sua relazione con la distribuzione dei numeri primi. Essa inoltre trova applicazioni in altre discipline, ad esempio nella fisica. Questo articolo fornisce un certo numero di rappresentazioni mediante serie dei valori della funzione zeta per argomenti interi. La maggior parte di queste identità sono state fornite da Simon Plouffe. Esse sono molto utili, in quanto danno una rapida convergenza, fornendo la garanzia di quasi tre nuove cifre decimali ad ogni nuova iterazione; esse quindi rendono agevoli calcoli di alta precisione. (it) |
| dbo:wikiPageExternalLink | http://wain.mi.ras.ru/PS/zeta5-11.pdf http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired22.html http://www.linas.org/math/plouffe-ram.pdf http://wain.mi.ras.ru/PS/zeta5-11$.pdf http://wain.mi.ras.ru/PS/zeta5-11.ps.gz https://web.archive.org/web/20090130142844/http:/www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html https://web.archive.org/web/20110926231624/http:/www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/zeta.html http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/zeta_tables/index.html http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html |
| dbo:wikiPageID | 2334098 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 23515 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1118380534 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Meromorphic_function dbr:Basel_problem dbr:Bernhard_Riemann dbr:Bernoulli_number dbr:Bernoulli_numbers dbr:Apéry's_theorem dbc:Irrational_numbers dbr:Riemann_hypothesis dbr:Riemann_zeta_function dbr:Complex_analysis dbr:Complex_number dbr:Complex_plane dbr:Analytic_continuation dbr:Mathematics dbr:Generating_function dbr:Glaisher–Kinkelin_constant dbr:Correlation_function_(statistical_mechanics) dbr:Andrew_Odlyzko dbr:Apéry's_constant dbr:Harmonic_series_(mathematics) dbr:Pole_(complex_analysis) dbr:Simon_Plouffe dbc:Mathematical_constants dbr:Lambert_series dbc:Zeta_and_L-functions dbr:Euler–Mascheroni_constant dbr:Number_theory dbr:Partial_sum dbr:Particular_values_of_the_gamma_function dbr:Ramanujan_summation dbr:Residue_(complex_analysis) dbr:Heisenberg_model_(quantum) dbr:Arithmetic–geometric_mean dbr:Zero_(complex_analysis) dbr:Digamma_function dbr:Planck's_law dbr:OEIS dbr:Real_number dbr:Real_part dbr:Stefan–Boltzmann_law dbr:Series_(mathematics) dbr:Complex_derivative dbr:Wien_approximation dbr:Russian_Mathematical_Surveys dbr:1_+_2_+_3_+_4_+_·_·_· dbr:Simple_pole |
| dbp:date | 2009-01-30 (xsd:date) 2011-09-26 (xsd:date) |
| dbp:url | https://web.archive.org/web/20090130142844/http:/www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html https://web.archive.org/web/20110926231624/http:/www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:X10^ dbt:= dbt:Cite_journal dbt:Main dbt:Math dbt:Mvar dbt:Reflist dbt:Sfrac dbt:Short_description dbt:Use_American_English dbt:Val dbt:Webarchive dbt:OEIS2C |
| dct:subject | dbc:Irrational_numbers dbc:Mathematical_constants dbc:Zeta_and_L-functions |
| rdfs:comment | في الرياضيات، دالة زيتا لريمان هي دالة في التحليل العقدي، مهمة أيضا في نظرية الأعداد. عادة ما يرمز إليها بالرمز ζ(s). سُميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. عندما يكون المدخل s عددا حقيقيا أكبر قطعا من الواحد، تحقق دالة زيتا لريمان المعادلة التالية: (ar) En matemática, una constante zeta es el resultado de la función zeta de Riemann cuando esta se aplica sobre un número entero. (es) Die Riemannsche Zeta-Funktion ist eine mathematische Funktion, die eine besonders wichtige Rolle in der Zahlentheorie spielt. Für Werte kann sie definiert werden durch die Reihe In diesem Falle streben die einzelnen Summanden schnell genug gegen 0, sodass die Reihe gegen einen festen eindeutigen Wert konvergiert. Es ist ein klassisches mathematisches Problem, welche Werte die Zeta-Funktion an speziellen Stellen besitzt. Ein Beispiel hierfür ist das Basler Problem, das nach dem exakten Wert der Reihe aller kehrwertigen Quadratzahlen fragt, ergo dem Wert : (de) In mathematics, the Riemann zeta function is a function in complex analysis, which is also important in number theory. It is often denoted ζ(s) and is named after the mathematician Bernhard Riemann. When the argument s is a real number greater than one, the zeta function satisfies the equation (en) En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction en analyse complexe, dont l'importance est notable en théorie des nombres. Elle est nommée d'après le mathématicien Bernhard Riemann et on la note souvent ζ(s). Pour un s réel supérieur à 1, elle est définie par Les valeurs de la fonction zêta listées ici incluent les valeurs de la fonction aux nombres entiers négatifs pairs (s = −2, −4, etc.), pour lesquels ζ(s) = 0 qui forment les zéros trivaux de la fonction. L'article consacré à la fonction détaille l'importance des zéros non triviaux pour la théorie des nombres. (fr) In matematica la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste grandissima importanza per la teoria dei numeri, a causa della sua relazione con la distribuzione dei numeri primi. Essa inoltre trova applicazioni in altre discipline, ad esempio nella fisica. Questo articolo fornisce un certo numero di rappresentazioni mediante serie dei valori della funzione zeta per argomenti interi. (it) |
| rdfs:label | قيم خاصة لدالة زيتا لريمان (ar) Spezielle Werte der Riemannschen Zeta-Funktion (de) Constante zeta (es) Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann (fr) Costanti zeta (it) Particular values of the Riemann zeta function (en) |
| owl:sameAs | yago-res:Particular values of the Riemann zeta function wikidata:Particular values of the Riemann zeta function dbpedia-ar:Particular values of the Riemann zeta function dbpedia-az:Particular values of the Riemann zeta function dbpedia-de:Particular values of the Riemann zeta function dbpedia-es:Particular values of the Riemann zeta function dbpedia-fr:Particular values of the Riemann zeta function dbpedia-it:Particular values of the Riemann zeta function dbpedia-tr:Particular values of the Riemann zeta function https://global.dbpedia.org/id/9RJ8 |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Particular_values_of_the_Riemann_zeta_function?oldid=1118380534&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Particular_values_of_the_Riemann_zeta_function |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Zeta_constant dbr:Particular_values_of_Riemann_zeta_function dbr:Zeta_constants |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_mathematical_constants dbr:Eighth_power dbr:Zeta_constant dbr:Particular_values_of_Riemann_zeta_function dbr:Zeta_constants |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Particular_values_of_the_Riemann_zeta_function |