Zeros and poles (original) (raw)
En l'àmbit matemàtic de l'anàlisi complexa, un pol d'una funció meromorfa és un cert tipus de singularitat que es comporta com la singularitat de al punt z = 0. Per un pol de la funció f(z) al punt a, la funció tendeix a infinit quan z tendeix cap a a.
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| dbo:abstract | En l'àmbit matemàtic de l'anàlisi complexa, un pol d'una funció meromorfa és un cert tipus de singularitat que es comporta com la singularitat de al punt z = 0. Per un pol de la funció f(z) al punt a, la funció tendeix a infinit quan z tendeix cap a a. (ca) في التحليل العقدي، قطب (بالإنجليزية: Pole) دالة جزئية الشكل هو نوع ما من خصوصية تتصرف كما تتصرف خصوصية الدالة عندما يكون z مساويا للصفر. إذا كان a قطبا لدالة ما (f(z، فإن هذه الدالة تؤول إلى ما لا نهاية له عندما يقترب z من a. (ar) Στη μιγαδική ανάλυση, ένας πόλος μια μερομορφικής συνάρτησης είναι ένας συγκεκριμένος τύπος ιδιάζοντος σημείου, ο οποίος συμπεριφέρεται όπως η στο z = 0. Για τον πόλο της συνάρτησης f(z) στο σημείο a η συνάρτηση πλησιάζει το άπειρο (απειρίζει) καθώς το z πλησιάζει το a. Ο πόλος είναι ένας τύπος μιας συναρτήσεως, κοντά στο οποίο η συνάρτηση συμπεριφέρεται σχετικώς ομαλά, σε αντίθεση με τα ουσιώδη ιδιόμορφα σημεία, όπως π.χ. το 0 για τη λογαριθμική συνάρτηση. (el) In der Mathematik bezeichnet man eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion als Polstelle oder auch kürzer als Pol, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden. Damit gehören die Polstellen zu den isolierten Singularitäten. Das Besondere an Polstellen ist, dass sich die Punkte in einer Umgebung nicht chaotisch verhalten, sondern in einem gewissen Sinne gleichmäßig gegen unendlich streben. Deshalb können dort Grenzwertbetrachtungen durchgeführt werden. Generell spricht man nur bei glatten oder analytischen Funktionen von Polen. In der Schulmathematik werden Pole bei reellen gebrochen-rationalen Funktionen eingeführt. Sollen auch Singularitäten von anderen Funktionen, etwa transzendenten Funktionen, z. B. beim Sekans , untersucht werden, so ist es am zweckmäßigsten, die analytische Fortsetzung auf den komplexen Zahlen zu betrachten. (de) En kompleksa analitiko, poluso de holomorfa funkcio estas certa speco de simpla , kiu kondutas kiel la specialaĵo 1/zn je z = 0. Poluso de la funkcio f(z) estas punkto z = a tia, ke f(z) aliras malfinion kiel z aliras a. Formale, supozu ke U estas malfermita subaro de la kompleksa ebeno C, a estas ero de U kaj f : U − {a} → C estas holomorfa funkcio. Se ekzistas holomorfa funkcio g : U → C kaj natura nombro n tia, ke por ĉiuj z en U − {a}, tiam a estas nomita poluso de f. Se n estas elektita tiel malgranda kiel ebla, tiam n estas nomita la obleco aŭ ordo de la poluso. Poluso de ordo 1 estas nomata kiel simpla poluso. Ekvivalente, a estas poluso de ordo n≥ 0 por funkcio f se ekzistas malfermita najbaraĵo U de a tia, ke f : U - {a} → C estas holomorfa kaj la limigo ekzistas kaj estas malsama de 0. La punkto a estas poluso de ordo n de f se kaj nur se ĉiuj termo de elvolvaĵo de f kiel la serio de Laurent ĉirkaŭ a pli sube grado de -n estas nuloj kaj la termo de grado -n estas ne nulo. Poluso de ordo 0 estas . En ĉi tiu okazo la limigo limz→a f(z) ekzistas kiel kompleksa nombro. Se la ordo estas pli granda ol 0, tiam limz→a f(z) = ∞. Se la unua derivaĵo de funkcio f havas simplan poluson je a, tiam a estas de f. (la malo ne nepre estas vera). Ne-forprenebla specialaĵo kiu estas ne poluso aŭ estas esenca specialaĵo. Holomorfa funkcio ĉiuj kies specialaĵoj estas polusoj estas meromorfa funkcio. (eo) En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul. Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe. (fr) En análisis complejo, un polo de una función holomorfa es un cierto tipo de singularidad que se comporta como la singularidad 1/zn en z = 0. Un polo de la función f(z) es un punto z = a tal que f(z) tiende a infinito a medida que z tiende a a. (es) 복소해석학에서 극점(極點, 영어: pole)은 국소적으로 가 에서 갖는 특이점과 같은 형태의 특이점이다. (ko) In complex analysis (a branch of mathematics), a pole is a certain type of singularity of a complex-valued function of a complex variable. In some sense, it is the simplest type of singularity. Technically, a point z0 is a pole of a function f if it is a zero of the function 1/f and 1/f is holomorphic in some neighbourhood of z0 (that is, complex differentiable in a neighbourhood of z0). A function f is meromorphic in an open set U if for every point z of U there is a neighborhood of z in which either f or 1/f is holomorphic. If f is meromorphic in U, then a zero of f is a pole of 1/f, and a pole of f is a zero of 1/f. This induces a duality between zeros and poles, that is fundamental for the study of meromorphic functions. For example, if a function is meromorphic on the whole complex plane plus the point at infinity, then the sum of the multiplicities of its poles equals the sum of the multiplicities of its zeros. (en) 数学の一分野の複素解析において、有理型函数の極 (英: pole) は、1/zn の z = 0 における特異点のような振る舞いをする特異点の一種である。点 a が函数 f(z) の極であるとき、z が任意の方向から a に近づくと函数は無限遠点へ近づく。 (ja) In de functietheorie is een pool van een meromorfe functie een geïsoleerde singulariteit waarin de functie dus niet gedefinieerd is en waar in elke omgeving daarvan de functie willekeurig grote waarden kan aannemen. Een typisch voorbeeld is de pool van de functie . In de omgeving van een pool gedraagt een functie zich niet chaotisch, maar nadert uniform tot oneindig als tot nadert. (nl) In matematica, e in particolare in analisi complessa, per polo di una funzione olomorfa , si intende una singolarità isolata della funzione per cui Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste. La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui. (it) Biegun funkcji meromorficznej – taki punkt osobliwy tej funkcji w którego otoczeniu nie jest ograniczona, a ponadto: Dodatkowo, biegun ten jest rzędu jeśli część osobliwa rozwinięcia w szereg Laurenta wokół punktu składa się z wyrazów (jeśli jest nieskończona to punkt jest ). (pl) Изолированная особая точка называется полюсом функции , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел . (ru) Em análise complexa, um polo de um função holomorfa é um certo tipo de singularidade que se comporta como um singularidade do tipo no ponto . Em particular, em um polo a de uma função f, f(z) tende ao infinito as conforme z se aproxima de a. (pt) En pol är inom komplex analys en isolerad singularitet med oändligt gränsvärde. (sv) Ізольована особлива точка називається полюсом функції , якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто , де - правильна частина ряду Лорана. Якщо , то називається полюсом порядку . Якщо , то полюс називається простим. (uk) 亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同时的奇点。也就是说，如果当时，函数，那么在处便具有极点。 (zh) |
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(el) En analyse complexe, un pôle d'une fonction holomorphe est un certain type de singularité isolée qui se comporte comme la singularité en z = 0 de la fonction , où n est un entier naturel non nul. Une fonction holomorphe n'ayant que des singularités isolées qui sont des pôles est appelée une fonction méromorphe. (fr) En análisis complejo, un polo de una función holomorfa es un cierto tipo de singularidad que se comporta como la singularidad 1/zn en z = 0. Un polo de la función f(z) es un punto z = a tal que f(z) tiende a infinito a medida que z tiende a a. (es) 복소해석학에서 극점(極點, 영어: pole)은 국소적으로 가 에서 갖는 특이점과 같은 형태의 특이점이다. (ko) 数学の一分野の複素解析において、有理型函数の極 (英: pole) は、1/zn の z = 0 における特異点のような振る舞いをする特異点の一種である。点 a が函数 f(z) の極であるとき、z が任意の方向から a に近づくと函数は無限遠点へ近づく。 (ja) In de functietheorie is een pool van een meromorfe functie een geïsoleerde singulariteit waarin de functie dus niet gedefinieerd is en waar in elke omgeving daarvan de functie willekeurig grote waarden kan aannemen. Een typisch voorbeeld is de pool van de functie . In de omgeving van een pool gedraagt een functie zich niet chaotisch, maar nadert uniform tot oneindig als tot nadert. (nl) In matematica, e in particolare in analisi complessa, per polo di una funzione olomorfa , si intende una singolarità isolata della funzione per cui Il polo si distingue dalla singolarità eliminabile e dalla singolarità essenziale, per le quali tale limite rispettivamente è finito e non esiste. La conoscenza delle caratteristiche dei poli di una funzione olomorfa consente di determinare molte delle sue caratteristiche; inoltre lo studio dei poli è fondamentale nel calcolo dei residui. (it) Biegun funkcji meromorficznej – taki punkt osobliwy tej funkcji w którego otoczeniu nie jest ograniczona, a ponadto: Dodatkowo, biegun ten jest rzędu jeśli część osobliwa rozwinięcia w szereg Laurenta wokół punktu składa się z wyrazów (jeśli jest nieskończona to punkt jest ). (pl) Изолированная особая точка называется полюсом функции , голоморфной в некоторой проколотой окрестности этой точки, если существует предел . (ru) Em análise complexa, um polo de um função holomorfa é um certo tipo de singularidade que se comporta como um singularidade do tipo no ponto . Em particular, em um polo a de uma função f, f(z) tende ao infinito as conforme z se aproxima de a. (pt) En pol är inom komplex analys en isolerad singularitet med oändligt gränsvärde. (sv) Ізольована особлива точка називається полюсом функції , якщо в розкладанні цієї функції в ряд Лорана в проколотому околі точки головна частина містить скінчене число відмінних від нуля членів, тобто , де - правильна частина ряду Лорана. Якщо , то називається полюсом порядку . Якщо , то полюс називається простим. (uk) 亚纯函数的极点是一种特殊的奇点，它的表现如同时的奇点。也就是说，如果当时，函数，那么在处便具有极点。 (zh) En kompleksa analitiko, poluso de holomorfa funkcio estas certa speco de simpla , kiu kondutas kiel la specialaĵo 1/zn je z = 0. Poluso de la funkcio f(z) estas punkto z = a tia, ke f(z) aliras malfinion kiel z aliras a. Formale, supozu ke U estas malfermita subaro de la kompleksa ebeno C, a estas ero de U kaj f : U − {a} → C estas holomorfa funkcio. Se ekzistas holomorfa funkcio g : U → C kaj natura nombro n tia, ke Ekvivalente, a estas poluso de ordo n≥ 0 por funkcio f se ekzistas malfermita najbaraĵo U de a tia, ke f : U - {a} → C estas holomorfa kaj la limigo ekzistas kaj estas malsama de 0. (eo) In der Mathematik bezeichnet man eine einpunktige Definitionslücke einer Funktion als Polstelle oder auch kürzer als Pol, wenn die Funktionswerte in jeder Umgebung des Punktes (betragsmäßig) beliebig groß werden. Damit gehören die Polstellen zu den isolierten Singularitäten. Das Besondere an Polstellen ist, dass sich die Punkte in einer Umgebung nicht chaotisch verhalten, sondern in einem gewissen Sinne gleichmäßig gegen unendlich streben. Deshalb können dort Grenzwertbetrachtungen durchgeführt werden. (de) In complex analysis (a branch of mathematics), a pole is a certain type of singularity of a complex-valued function of a complex variable. In some sense, it is the simplest type of singularity. Technically, a point z0 is a pole of a function f if it is a zero of the function 1/f and 1/f is holomorphic in some neighbourhood of z0 (that is, complex differentiable in a neighbourhood of z0). A function f is meromorphic in an open set U if for every point z of U there is a neighborhood of z in which either f or 1/f is holomorphic. (en) |
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